Kirchhoff-Rechner

Was sagen die kirchhoffschen Regeln aus?

Die kirchhoffschen Regeln beschreiben, wie sich Ströme und Spannungen in elektrischen Netzwerken verhalten. Du brauchst sie immer dann, wenn eine Schaltung mehr als einen einfachen Serien- oder Parallelzweig hat - zum Beispiel bei einem Netzwerk mit zwei Spannungsquellen.

Die Knotenregel betrachtet einen Verbindungspunkt. Alles, was in den Knoten hineinfließt, muss auch wieder herausfließen. Das ist die Strombilanz am Knoten. In Formelschreibweise steht dafür ΣI = 0 oder, je nach Richtung der Pfeile, Σ I_zu = Σ I_ab.

Die Maschenregel betrachtet einen geschlossenen Umlauf in der Schaltung. Wenn du einmal durch eine Masche gehst, heben sich Spannungsquellen und Spannungsabfälle an Widerständen in der Summe auf. In Formelschreibweise steht dafür ΣU = 0. Praktisch heißt das: Die Quellspannung verteilt sich auf die Widerstände der Masche.

Der Rechner darüber bildet typische Fälle ab: zwei Quellen, Reihenschaltung, Parallelschaltung und eine gemischte Schaltung. Du wählst die Schaltung, gibst Spannungen und Widerstände ein und liest Ströme, Spannungen, Leistung sowie die Prüfung von Knotenregel und Maschenregel ab.

Wie rechnet man mit Knotenregel und Maschenregel?

Bei einem Netzwerk mit zwei Quellen ist die Knotenspannung oft der sauberste Weg. Gemeint ist die Spannung am Verbindungspunkt K, von dem aus ein Zweig nach unten über den mittleren Widerstand führt. In Worten lautet die Rechnung: Beiträge der Quellen über ihre Widerstände addieren und durch die Summe der Leitwerte teilen.

Für das Beispiel mit 12 V links, 6 V rechts sowie 100 Ω, 220 Ω und 470 Ω ergibt sich:

• Knotenregel an K: I₁ + I₃ = I₂
• Linke Masche: 12 V = I₁ · 100 Ω + I₂ · 220 Ω
• Rechte Masche: 6 V = I₃ · 470 Ω + I₂ · 220 Ω
• Knotenspannung: U_K = (12/100 + 6/470) ÷ (1/100 + 1/220 + 1/470) = 7,9629 V

Aus der Knotenspannung folgen die Zweigströme:

• I₁ = (12 − 7,9629) ÷ 100 = 40,37 mA
• I₂ = 7,9629 ÷ 220 = 36,19 mA
• I₃ = (6 − 7,9629) ÷ 470 = -4,176 mA

Das negative Vorzeichen bei I₃ ist kein Rechenfehler. Es bedeutet nur, dass der tatsächliche Strom entgegen der vorher angenommenen Pfeilrichtung fließt. Die Bilanz stimmt trotzdem: 40,37 mA + (−4,176 mA) = 36,19 mA. Auch die Maschen stimmen: links 4,037 V + 7,963 V = 12 V, rechts (−1,963 V) + 7,963 V = 6 V.

Knotenregel in Parallelschaltungen richtig lesen

Die Knotenregel ist in einer Parallelschaltung besonders anschaulich. Am Eingang teilt sich der Gesamtstrom auf die einzelnen Zweige auf. Am Ausgang kommen die Teilströme wieder zusammen. Jeder Zweig liegt an derselben Spannung, aber der Strom hängt vom jeweiligen Widerstand ab.

Ein Beispiel mit 12 V und den Widerständen 100 Ω, 220 Ω und 470 Ω zeigt die Stromaufteilung deutlich:

Der kleinste Widerstand führt hier den größten Strom. Genau das ist eine typische Eigenschaft der Parallelschaltung. Der Gesamtwiderstand liegt mit 59,977 Ω unter dem kleinsten Einzelwiderstand. Wenn du nur die Widerstände addierst, würdest du bei einer Parallelschaltung deshalb völlig danebenliegen.

Die Maschenregel sieht in diesem Fall unspektakulär aus, ist aber trotzdem erfüllt: Jede Masche aus Quelle und einem Zweig hat dieselbe Spannung. Bei 12 V liegen also 12 V an jedem der parallelen Widerstände an.

Maschenregel in der Reihenschaltung anwenden

In einer Reihenschaltung fließt durch alle Widerstände derselbe Strom. Es gibt keinen Abzweig, an dem sich der Strom teilen könnte. Die Maschenregel zeigt stattdessen, wie sich die Gesamtspannung auf die einzelnen Widerstände verteilt.

Bei 12 V mit 100 Ω, 220 Ω und 470 Ω beträgt der Gesamtwiderstand 790,000 Ω. Der Strom ist überall gleich und beträgt 15,19 mA. Die Spannungen an den Widerständen addieren sich wieder zur Quelle:

Der größte Widerstand bekommt die größte Teilspannung. Das ist die Grundidee des Spannungsteilers. Wenn die Widerstände gleich groß sind, verteilt sich die Spannung entsprechend gleichmäßig: Bei 5 V und den Widerständen 10 Ω, 10 Ω und 10 Ω zeigt die Maschenprüfung 1,667 V + 1,667 V + 1,667 V = 5 V.

Für Aufgaben zur Maschenregel ist diese Spannungsprobe sehr hilfreich. Wenn die Teilspannungen nicht zur Quellspannung passen, stimmt meist ein Vorzeichen, ein Widerstandswert oder die angenommene Schaltungsart nicht.

Gemischte Schaltungen mit den kirchhoffschen Regeln lösen

Gemischte Schaltungen kombinieren Reihen- und Parallelanteile. Dadurch brauchst du beide Blickrichtungen: In einem Serienteil ist der Strom gleich, in einem Parallelteil ist die Spannung gleich und die Ströme teilen sich nach der Knotenregel auf.

Im Beispiel mit 12 V, R₁ = 100 Ω, R₂ = 220 Ω und R₃ = 470 Ω liegt R₁ in Reihe mit dem Parallelteil aus R₂ und R₃. Der Parallelteil hat 149,9 Ω, zusammen ergibt das 249,855 Ω. Der Gesamtstrom beträgt 48,03 mA.

Am Knoten hinter R₁ teilt sich dieser Strom auf:

• I₂ = 32,71 mA
• I₃ = 15,31 mA
• I = I₂ + I₃ = 48,03 mA

Die Maschenregel passt ebenfalls: U = U₁ + U₂₃ = 4,803 V + 7,197 V = 12 V. R₂ und R₃ liegen parallel, deshalb haben beide dieselbe Spannung von 7,197 V. R₁ liegt davor in Reihe und bekommt seine eigene Teilspannung.

Ein zweites Beispiel mit 5 V, 10 Ω, 150 Ω und 330 Ω zeigt dasselbe Muster: Der Gesamtstrom beträgt 44,2 mA. Am Knoten teilt er sich in 30,39 mA und 13,81 mA. Die Maschenprüfung lautet 442 mV + 4,558 V = 5 V.

Typische Fehler bei den kirchhoffschen Regeln vermeiden

Der häufigste Fehler ist ein falsches Vorzeichen. Lege für jeden Strom zuerst eine Richtung fest und bleib dann konsequent dabei. Wenn am Ende ein negativer Strom herauskommt, ist das in Ordnung: Die echte Stromrichtung ist dann einfach entgegengesetzt zur angenommenen Richtung. Beim Beispiel mit 12 V und 6 V ist I₃ = -4,176 mA. Die Knotenregel bleibt trotzdem erfüllt.

Achte außerdem auf diese Punkte:

• Verwechsle Reihe und Parallel nicht. In Reihe ist der Strom gleich, parallel ist die Spannung gleich.
• Addiere Widerstände nur in der Reihenschaltung direkt. Bei parallelen Zweigen arbeitest du mit Kehrwerten.
• Prüfe am Ende immer die Bilanz. Die Knotenregel muss die Stromsumme bestätigen, die Maschenregel die Spannungssumme.
• Einheiten sauber lesen: 0,04037 A sind 40,37 mA, 0,03619 A sind 36,19 mA.
• Bei zwei Spannungsquellen zählt die Polung. Ist eine Quelle andersherum eingebaut, muss das Vorzeichen der Spannung entsprechend gesetzt werden.

Die kirchhoffschen Gesetze gelten als Grundregeln der Netzwerkanalyse auch für lineare Wechselstromrechnungen. Dann rechnest du aber nicht mehr nur mit einfachen Widerständen, sondern mit komplexen Impedanzen und Phasenlagen. Für einfache Gleichstromaufgaben mit Widerständen reicht die hier gezeigte Rechnung.