Linsen-Rechner

Was berechnet die Linsengleichung?

Mit der Linsengleichung verbindest du Brennweite f, Gegenstandsweite g und Bildweite b einer dünnen Linse. Die Brennweite beschreibt die Linse selbst. Die Gegenstandsweite ist der Abstand vom Gegenstand zur Linse. Die Bildweite ist der Abstand von der Linse zum Bild, zum Beispiel auf einem Schirm oder Sensor.

Im Rechner wählst du aus, ob du Bildweite b, Brennweite f oder Gegenstandsweite g berechnen möchtest, gibst die bekannten Werte ein und nutzt für alle Längen dieselbe Einheit.

Das Vorzeichen sagt dir, welche Art von Bild entsteht. Eine positive Bildweite steht für ein reelles Bild hinter der Linse. Dieses Bild kannst du auf einem Schirm auffangen. Eine negative Bildweite steht für ein virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite. Das kennst du von der Lupe: Du siehst ein vergrößertes Bild, aber du bekommst es nicht als scharfes Bild auf einen Schirm hinter der Linse.

Wie kannst du die Bildweite berechnen?

Für die Bildweite nutzt du die umgestellte Linsengleichung: b ist Brennweite mal Gegenstandsweite, geteilt durch Gegenstandsweite minus Brennweite. Als Formel geschrieben: b = f · g ÷ (g - f). Dahinter steckt die Grundform 1/f = 1/g + 1/b.

Beispiel mit f = 5 cm und g = 50 cm: Zuerst wird die Gleichung nach b umgestellt. Der Rechenweg lautet b = 5 · 50 ÷ 45. Daraus ergibt sich 5,5556 cm. Der Abbildungsmaßstab ist β = -b ÷ g, also -5,5556 ÷ 50 = -0,1111.

Das Minus beim Abbildungsmaßstab bedeutet: Das Bild ist umgekehrt. Der Maßstab wird als 1 : 9 beschrieben, also verkleinert auf 11,1 %. In diesem Beispiel ist das Bild reell, umgekehrt und verkleinert. Der Abstand Gegenstand - Bild beträgt 55,556 cm.

Wann ist das Bild reell, virtuell oder vergrößert?

Ob ein Bild reell oder virtuell ist, hängt bei der Sammellinse stark davon ab, wo der Gegenstand im Verhältnis zur Brennweite steht. Liegt g größer als 2f, entsteht ein reelles, umgekehrtes und verkleinertes Bild. Das passt zum Beispiel f = 10 cm und g = 30 cm: Die Bildweite beträgt 15,0000 cm, der Maßstab ist 1 : 2, verkleinert auf 50 %.

Liegt der Gegenstand näher an der Brennweite, kann das Bild vergrößert werden. Beim Projektor-Beispiel mit f = 10 cm und b = 300 cm gehört dazu g = 10,3448 cm. Der Abbildungsmaßstab ist -29,0000, das Bild ist reell, umgekehrt und vergrößert. Eine Gegenstandsgröße von 3,6 cm wird zu einer Bildgröße von 104,4000 cm.

Liegt der Gegenstand innerhalb der Brennweite, wird b negativ. Bei f = 10 cm und g = 6 cm ist b = -15,0000 cm. Das Bild ist virtuell, aufrecht und vergrößert, der Maßstab beträgt 2,5 : 1.

Wie berechnest du Brennweite, Gegenstandsweite und Abbildungsmaßstab?

Die Linsengleichung lässt sich nach jedem der drei Hauptwerte umstellen. Für die Brennweite gilt: f = g · b ÷ (g + b). Wenn g = 60 cm und b = 15 cm bekannt sind, ergibt sich f = 12,0000 cm. Das Bild ist dann reell, umgekehrt und verkleinert, der Maßstab ist 1 : 4.

Für die Gegenstandsweite gilt: g = f · b ÷ (b - f). Bei f = 5 cm und b = 10 cm ist g = 10,0000 cm. Der Abbildungsmaßstab beträgt -1,0000, das Bild ist reell, umgekehrt und gleich groß. Das ist eine typische 1 : 1-Abbildung.

Der Abbildungsmaßstab wird mit β = -b ÷ g berechnet. Das Vorzeichen zeigt die Orientierung: negativ heißt umgekehrt, positiv heißt aufrecht. Für die Bildgröße gilt B = |β| · G. Im Lupen-Beispiel mit G = 1 cm und β = 2,5000 wird B = 2,5000 cm.

Wie hängen Brennweite, Dioptrien und Fotografie zusammen?

Die Brechkraft D ist der Kehrwert der Brennweite in Metern: D = 1 ÷ f. Bei f = 5 cm ergibt sich 20,000 dpt. Bei f = 10 cm ergibt sich 10,000 dpt. Eine Brennweite von 50,0 mm entspricht ± 20 dpt, 100,0 mm entsprechen ± 10 dpt.

In der Schulphysik wird meist mit einer idealisierten dünnen Linse gerechnet. In der Fotografie steckt hinter der Brennweite ebenfalls diese optische Grundidee, aber der praktische Abstand zwischen Objektiv, Hauptebene und Sensor ist modellabhängig. Deshalb passt die Linsengleichung sehr gut zum Verständnis und für Näherungen, ersetzt aber keine Konstruktion eines realen Objektivs.

Beim 50-mm-Objektiv zeigt sich der Effekt gut: Bei 15 cm Motivabstand liegt die Bildweite bei 75,00 mm, der Auszug bei 25,00 mm und der Maßstab bei 1 : 2,0. Bei 5 m Motivabstand liegt die Bildweite bei 50,51 mm und der Auszug nur bei 0,51 mm.

Welche Fehler solltest du beim Bildweite berechnen vermeiden?

Der häufigste Fehler ist ein Einheitenmix. Wenn du f in cm eingibst, müssen g und b ebenfalls in cm stehen. Sonst wirkt das Ergebnis plausibel, ist aber falsch eingeordnet. Dasselbe gilt für optionale Größen wie G, wenn du die Bildgröße berechnen willst.

Der zweite Fehler ist das Vorzeichen. Eine Sammellinse hat eine positive Brennweite, eine Zerstreuungslinse eine negative. Eine negative Bildweite ist kein Rechenfehler, sondern der Hinweis auf ein virtuelles Bild. Beim Lupen-Beispiel mit f = 10 cm und g = 6 cm ist b = -15,0000 cm genau dieses Signal.

Achte außerdem auf die Lage des Gegenstands zur Brennweite. Direkt an der Brennweite entsteht kein endlicher Schirmabstand. In der Praxis bedeutet das: Kleine Änderungen nahe der Brennweite können die Bildweite stark verschieben. Das sieht man zum Beispiel bei f = 5 cm: g = 5,5 cm führt zu b = 55 cm, während g = 8,75 cm zu b = 11,6667 cm führt.