Schnittpunkt-Rechner

Was bedeutet Schnittpunkt berechnen?

Wenn du einen Schnittpunkt berechnen willst, suchst du die Stelle, an der zwei Graphen denselben x-Wert und denselben y-Wert haben. Der Punkt wird meist als S(x | y) geschrieben. Bei einem Schnittpunkt zweier Funktionen gilt also: Für denselben x-Wert liefern beide Funktionen denselben Funktionswert.

Das kann bei zwei Geraden passieren, bei einer Geraden und einer Parabel, bei zwei Kurven oder beim Schnitt mit einer Achse. Bei f(x) = 3x − 2 und g(x) = −x + 6 liegt der Schnittpunkt zum Beispiel bei S(2 | 4). Bei f(x) = x² und g(x) = 2x + 3 gibt es S₁(−1 | 1) und S₂(3 | 9). Eine Gerade und eine Parabel können also mehrere gemeinsame Punkte haben.

Ein Berührpunkt ist ein Sonderfall: Die Graphen haben dort einen gemeinsamen Punkt und liegen dort gleich an. In der Tabelle ist das bei f(x) = x² und g(x) = 2x − 1 der Fall: S(1 | 1). Es kann aber auch gar keinen Schnittpunkt geben, etwa bei x² + 1 und x. Dann liefert die Gleichung keine passende Lösung.

Wie rechnest du den Schnittpunkt zweier Funktionen aus?

Die Rechenidee ist immer gleich: Du setzt die Funktionswerte gleich, bringst alles auf eine Seite und löst die entstehende Gleichung. In Worten lautet die Formel: f(x) gleich g(x), danach f(x) minus g(x) gleich null. Den gefundenen x-Wert setzt du anschließend in eine der beiden Funktionen ein, damit du den y-Wert bekommst.

Ein Beispiel mit f(x) = x² − 1 und g(x) = x + 1:

• Gleichsetzen: x² − 1 = x + 1
• Umformen: x² − x − 2 = 0
• Mitternachtsformel mit a = 1, b = −1, c = −2
• Diskriminante: D = 9 > 0
• Lösungen: x₁ = −1 und x₂ = 2
• y-Werte: f(−1) = 0 und f(2) = 3

Damit erhältst du die Schnittpunkte S₁(−1 | 0) und S₂(2 | 3). Ob du den y-Wert mit f oder g berechnest, ist egal. Bei einem korrekt gefundenen Schnittpunkt kommt derselbe Wert heraus. Genau das ist auch eine gute Kontrolle deiner Rechnung.

Schnittpunkt zweier Geraden, Gerade mit Parabel und x-Achse

Bei zwei Geraden entsteht normalerweise eine lineare Gleichung. Für f(x) = 3x − 2 und g(x) = −x + 6 lautet der Ansatz: 3x − 2 = −x + 6. Daraus wird 4x − 8 = 0, also x = 2. Eingesetzt ergibt das y = 4, der Schnittpunkt ist S(2 | 4).

Bei einer Gerade und einer Parabel entsteht häufig eine quadratische Gleichung. Für f(x) = x² und g(x) = 2x + 3 wird aus dem Gleichsetzen x² = 2x + 3 und dann x² − 2x − 3 = 0. Die Lösungen sind x₁ = −1 und x₂ = 3. Daraus folgen S₁(−1 | 1) und S₂(3 | 9).

Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist nichts anderes als eine Nullstelle. Du setzt dann g(x) = 0 oder lässt die zweite Funktion leer. Bei f(x) = x² − 9 erhältst du N₁(−3 | 0) und N₂(3 | 0). Der y-Wert ist bei einem Schnitt mit der x-Achse immer 0, weil alle Punkte auf dieser Achse den y-Wert 0 haben.

Gib f(x), g(x) und bei Bedarf den Suchbereich ein; für den Schnitt mit der x-Achse nutzt du als zweite Funktion 0.

Mehrere Schnittpunkte und nicht algebraisch lösbare Gleichungen

Mehrere Schnittpunkte sind kein Fehler. Sie entstehen oft bei Parabeln, kubischen Funktionen oder periodischen Funktionen. Bei f(x) = x³ − x und g(x) = x findet die Rechnung S₁(−√2 | −1,41421), S₂(0 | 0) und S₃(√2 | 1,41421). Der Ansatz lautet x³ − x = x, also x³ − 2x = 0. Durch Ausklammern erkennt man direkt, dass x = 0 eine Lösung ist.

Bei Funktionen wie sin(x), cos(x), e^x oder ln(x) kann die Gleichung nicht immer sauber mit einer geschlossenen Formel gelöst werden. Dann wird im angegebenen Bereich gesucht. Für sin(x) und cos(x) im Bereich [−6,3; 6,3] gibt es S₁(−7π/4 | √2/2), S₂(−3π/4 | −√2/2), S₃(π/4 | √2/2) und S₄(5π/4 | −√2/2). Änderst du den Suchbereich, können weitere oder weniger Schnittpunkte gefunden werden.

Wenn eine Fläche zwischen den Graphen angegeben wird, ist damit die Fläche zwischen den gefundenen Schnittstellen gemeint. Bei x² − 1 und x + 1 beträgt sie 4,5 FE. Bei x² und 2x + 3 beträgt sie 10,6667 FE. Die Rechnung verwendet den Betrag von f(x) − g(x), damit Flächen unterhalb und oberhalb der Achse nicht gegeneinander wegfallen.

Schnittpunkte von Geraden im Raum und typische Fehler

Bei Geraden im Raum reicht ein x-Wert nicht aus. Eine Gerade wird über einen Stützvektor und einen Richtungsvektor beschrieben. Der Ansatz lautet in Worten: Stützvektor der ersten Geraden plus Parameter mal Richtungsvektor gleich Stützvektor der zweiten Geraden plus Parameter mal Richtungsvektor. Danach vergleichst du die Koordinaten komponentenweise.

Ein Beispiel: g: x⃗ = (0 | 0 | 0) + r · (1 | 2 | 3) und h: x⃗ = (1 | 0 | 1) + s · (0 | 1 | 1). Das Gleichungssystem liefert r = 1 und s = 2. Eingesetzt in g ergibt sich S(1 | 2 | 3). Der Schnittwinkel beträgt 19,1066 ° und der Abstand der Geraden ist 0.

Es gibt aber auch Geraden im Raum, die weder parallel sind noch sich schneiden. Dann heißen sie windschief. Bei p⃗ = (1 | 2 | 3), u⃗ = (2 | 0 | 1), q⃗ = (0 | 1 | 4) und v⃗ = (1 | 1 | 0) hat das Gleichungssystem keine Lösung. Die Geraden sind windschief, der Abstand beträgt 0,8165 und der Schnittwinkel 50,7685 °.

Typische Fehler vermeidest du so:

• Setze wirklich f(x) und g(x) gleich, nicht nur einzelne Terme.
• Für den Schnitt mit der x-Achse setzt du die zweite Funktion auf 0.
• Setze gefundene x-Werte wieder ein, sonst fehlt der y-Wert.
• Bei periodischen Funktionen hängt das Ergebnis vom Suchbereich ab.
• Bei Geraden im Raum müssen alle Komponenten des Gleichungssystems zusammenpassen.