Integralrechner

Was kann der Integralrechner berechnen?

Der Integralrechner hilft dir bei drei typischen Aufgaben: eine Stammfunktion berechnen, ein bestimmtes Integral auswerten oder die Fläche zwischen 2 Kurven bestimmen. Du gibst die Funktion ein, wählst die gewünschte Rechnung und trägst bei bestimmten Integralen die Grenzen ein.

Bei einer Stammfunktion suchst du eine Funktion, deren Ableitung wieder deine Ausgangsfunktion ergibt. Für f(x) = x² ist das Ergebnis F(x) = x³/3 + C. Das + C steht für die Integrationskonstante: Beim Ableiten fällt eine Konstante weg, deshalb gibt es nicht nur eine einzige Stammfunktion.

Bei einem bestimmten Integral kommen Grenzen dazu. Dann wird keine Funktionsfamilie gesucht, sondern ein Wert. Für ∫₀² x² dx ergibt sich 8/3 ≈ 2,666667. Liegt der Graph im betrachteten Bereich oberhalb der x-Achse, ist dieser Wert zugleich die Fläche zwischen Graph und x-Achse in FE.

Wie funktioniert integral berechnen mit Stammfunktion und Grenzen?

Die Rechnung läuft in zwei Schritten: Zuerst wird eine Stammfunktion F(x) zu f(x) gebildet. Danach setzt du beim bestimmten Integral die obere und die untere Grenze ein und bildest die Differenz F(b) - F(a).

Beispiel mit f(x) = x² von 0 bis 2:

• Ausgangsfunktion: f(x) = x²
• Stammfunktion: F(x) = x³/3 + C
• Bestimmtes Integral: ∫₀² x² dx = F(2) - F(0)
• Ergebnis: 8/3 ≈ 2,666667

Der Rechenweg nutzt hier die Potenzregel: Jeder Exponent wird beim Integrieren um einen Schritt erhöht, danach wird durch den neuen Exponenten geteilt. Bei Summen wird jeder Summand einzeln integriert. So wird aus 3x⁴ - 2x + 1 die Stammfunktion F(x) = 3x⁵/5 - x² + x + C.

Für manche Funktionen brauchst du andere Regeln. Bei x·e^x greift partielle Integration. Das Ergebnis lautet F(x) = (x - 1)·e^x + C. Bei sin(x) ist die Stammfunktion F(x) = -cos(x) + C. Bei e^x bleibt die Stammfunktion F(x) = e^x + C.

Wann ist ein bestimmtes Integral eine Fläche?

Ein bestimmtes Integral zählt Flächenanteile mit Vorzeichen. Oberhalb der x-Achse zählt der Anteil positiv, unterhalb negativ. Deshalb kann sich in einer Rechnung etwas wegheben, obwohl geometrisch Fläche vorhanden ist.

Ein gutes Beispiel ist sin(x) von 0 bis 2π. Das bestimmte Integral ist 0. Die Fläche zwischen Graph und x-Achse beträgt aber 4 FE, weil die Teilfläche unterhalb der x-Achse positiv als Fläche gezählt wird. Der Funktionswert hebt sich im Integral auf, die geometrische Fläche nicht.

Bei x² von 0 bis 2 gibt es diesen Unterschied nicht: Das bestimmte Integral ist 8/3 ≈ 2,666667, und die Fläche zwischen Graph und x-Achse ist ebenfalls 8/3 ≈ 2,666667 FE.

Wenn du eine Fläche suchst, achte deshalb auf die Formulierung der Aufgabe. „Integral berechnen“ kann einen vorzeichenbehafteten Wert meinen. „Fläche unter Kurve berechnen“ meint meist die positive geometrische Fläche. Bei Funktionen mit Nullstellen im Intervall lohnt sich ein Blick auf die Teilflächen.

Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen?

Für die Fläche zwischen zwei Graphen wird eine Differenzfunktion gebildet. Bei f(x) = x² und g(x) = x heißt sie d(x) = x² - x. Mit den Schnittpunkten als Grenzen ergibt sich das Integral ∫₀¹ (f(x) - g(x)) dx = -1/6 ≈ -0,166667. Die gesuchte Fläche ist trotzdem positiv: 1/6 ≈ 0,166667 FE.

Der negative Integralwert zeigt nur, dass in diesem Bereich g über f liegt. Für die Fläche zählt der Abstand der Graphen. Darum wird aus dem vorzeichenbehafteten Integral eine positive Fläche.

Mit eigenen Grenzen funktioniert es genauso. Für f(x) = x² und g(x) = 2x von 0 bis 2 lautet die Differenzfunktion d(x) = x² - 2x. Das Integral ist -4/3 ≈ -1,333333, die Fläche zwischen den Kurven ist 4/3 ≈ 1,333333 FE.

Typische Stolperstelle: Wenn sich die Graphen innerhalb deiner eigenen Grenzen schneiden, kann sich die Differenz teilweise aufheben. Dann reicht es nicht immer, nur einen einzigen Integralwert anzuschauen. Entscheidend ist, ob du das vorzeichenbehaftete Integral oder die geometrische Fläche brauchst.

Welche Eingaben und Sonderfälle solltest du beim Stammfunktion berechnen kennen?

Viele Standardschreibweisen werden erkannt: x^3 oder x³, 2x oder 2*x, sqrt(x) oder √x, e^(2x), ln(x) und sin(x). Bei Grenzen kannst du auch π, pi, e, Brüche sowie inf für unendliche Grenzen verwenden.

Ein Sonderfall ist 1/x. Die normale Potenzregel gilt für xⁿ nur mit n ≠ -1. Deshalb wird ∫1/x dx nicht über diese Regel berechnet, sondern als ln|x| + C. Die Betragsstriche gehören dazu, weil der Logarithmus mit dem Betrag geschrieben wird.

Auch uneigentliche Integrale sind möglich, wenn ein Grenzwert existiert. Für 1/x² von 1 bis ∞ ergibt sich ∫ von 1 bis ∞ 1/x² dx = 1. Der Rechenweg arbeitet dabei mit der Stammfunktion F(x) = -1/x + C und einem Grenzwert.

Wenn eine Eingabe abgelehnt wird, liegt es oft an der Schreibweise: fehlende Klammern, ein unklarer Bruch oder eine nicht erkannte Funktion. Schreib Produkte im Zweifel mit * und setze Klammern deutlich, etwa e^(2x) statt einer uneindeutigen Eingabe.