Scheitelpunkt-Rechner

Was bedeutet Scheitelpunkt berechnen?

Wenn du den Scheitelpunkt berechnest, suchst du den Punkt, an dem eine Parabel ihre Richtung wechselt. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist das der tiefste Punkt, bei einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt. Für f(x) = x² − 4x + 3 liegt dieser Punkt bei S(2 | −1). Die Parabel ist eine Normalparabel, hat die Symmetrieachse x = 2 und den Wertebereich W = [−1; ∞).

Der Scheitelpunkt ist deshalb praktisch, weil du an ihm mehrere Eigenschaften direkt erkennst: Lage der Parabel, Symmetrieachse, Minimum oder Maximum und oft auch, ob Nullstellen möglich sind. Bei f(x) = −2x² + 8x − 5 ist der Scheitelpunkt S(2 | 3). Weil die Parabel nach unten geöffnet ist, ist dieser Punkt ein Hochpunkt. Der Wertebereich lautet W = (−∞; 3].

Im Rechner wählst du nur die gegebene Funktionsform aus und trägst die passenden Koeffizienten oder Parameter ein.

Wie berechnet man den Scheitelpunkt aus ax² + bx + c?

Für eine quadratische Funktion in allgemeiner Form f(x) = ax² + bx + c berechnest du zuerst die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit xₛ = −b ÷ 2a. Danach setzt du diesen x-Wert in die Funktion ein und bekommst yₛ. Alternativ kannst du für den y-Wert direkt yₛ = c − b² ÷ 4a verwenden.

Beispiel: f(x) = x² − 4x + 3. Hier ergibt sich xₛ = −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2. Danach setzt du x = 2 in die Funktion ein: yₛ = f(2) = 1 · 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Damit ist der Scheitelpunkt S(2 | −1).

Dasselbe Ergebnis bekommst du über die quadratische Ergänzung. Aus f(x) = x² − 4x + 3 wird erst x² − 4x + 4 − 4 + 3. Der Teil x² − 4x + 4 ist ein Quadrat und wird zu (x − 2)². Danach bleibt f(x) = (x − 2)² − 1. Aus dieser Scheitelpunktform liest du den Scheitelpunkt direkt ab: S(2 | −1).

Bei f(x) = x² + 6x + 5 läuft es genauso: Die Scheitelpunktform ist f(x) = (x + 3)² − 4 und der Scheitelpunkt S(−3 | −4). Hier liegt die Symmetrieachse bei x = −3, der Wertebereich ist W = [−4; ∞).

Was zeigt die Scheitelpunktform?

Die Scheitelpunktform hat die Struktur f(x) = a(x − xₛ)² + yₛ. Sie zeigt den Scheitelpunkt besonders direkt: In der Klammer steckt die x-Koordinate, der Wert dahinter ist die y-Koordinate. Bei f(x) = 3(x − 2)² − 5 ist der Scheitelpunkt S(2 | −5). Die allgemeine Form dazu ist f(x) = 3x² − 12x + 7.

Der Parameter a beschreibt, wie die Parabel geöffnet ist und wie breit oder schmal sie aussieht. Bei a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, der Scheitelpunkt ist ein Tiefpunkt. Bei a < 0 ist sie nach unten geöffnet, der Scheitelpunkt ist ein Hochpunkt. Für f(x) = −(x − 3)² + 1 ist der Scheitelpunkt S(3 | 1). Die Parabel ist nach unten geöffnet, der Wertebereich lautet W = (−∞; 1].

Auch Verschiebungen erkennst du sofort. f(x) = 4(x − 1,5)² + 2 hat den Scheitelpunkt S(1,5 | 2). Die Symmetrieachse ist x = 1,5. Weil der Scheitel oberhalb der x-Achse liegt und die Parabel nach oben geöffnet ist, hat diese Parabel keine Nullstellen.

Achte besonders auf das Vorzeichen in der Klammer. Aus (x − 2) wird die x-Koordinate 2, aus (x + 3) wird die x-Koordinate −3. Genau dieser Vorzeichenwechsel ist eine der häufigsten Stolperstellen.

Scheitelpunkt aus Nullstellen berechnen

Wenn eine quadratische Funktion in der Form a(x − x₁)(x − x₂) gegeben ist, kennst du die Nullstellen bereits. Der Scheitelpunkt liegt auf der Symmetrieachse zwischen den Nullstellen. Danach setzt du diesen x-Wert in die Funktion ein oder wandelst die Funktion in die allgemeine Form um.

Ein einfaches Beispiel ist f(x) = (x − 1)(x − 3). Die Nullstellen sind x₁ = 1 und x₂ = 3. Der Scheitelpunkt ist S(2 | −1), die Scheitelpunktform lautet f(x) = (x − 2)² − 1. Die Symmetrieachse liegt bei x = 2.

Bei f(x) = 2(x + 2)(x − 5) sind die Nullstellen x₁ = −2 und x₂ = 5. Der Scheitelpunkt ist S(1,5 | −24,5), die Scheitelpunktform f(x) = 2(x − 1,5)² − 24,5. Durch den Faktor 2 ist die Parabel gestreckt und nach oben geöffnet. Der Wertebereich ist W = [−24,5; ∞).

Bei f(x) = −x(x − 6) sind die Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 6. Der Scheitelpunkt ist S(3 | 9), die Scheitelpunktform f(x) = −(x − 3)² + 9. Weil der Streckfaktor negativ ist, ist der Scheitelpunkt ein Hochpunkt.

Typische Fehler beim Scheitelpunkt berechnen

Ein häufiger Fehler ist, das Vorzeichen von b zu verlieren. In der Formel steht xₛ = −b ÷ 2a. Bei f(x) = −x² + 6x − 8 ergibt das xₛ = −6 ÷ (−2) = 3. Der Scheitelpunkt ist S(3 | 1), nicht ein Punkt auf der anderen Seite der y-Achse.

Der nächste Fehler passiert beim Ausklammern von a. Bei f(x) = 0,5x² − 3x + 1 muss der Faktor 0,5 vor der Klammer stehen. Die Rechnung führt zur Scheitelpunktform f(x) = 0,5(x − 3)² − 3,5 und zum Scheitelpunkt S(3 | −3,5). Wenn du den Faktor beim Ergänzen vergisst, verschiebt sich der y-Wert.

Auch die Scheitelpunktform wird oft falsch gelesen. f(x) = −2(x + 4)² + 7 hat den Scheitelpunkt S(−4 | 7), nicht S(4 | 7). Die allgemeine Form dazu ist f(x) = −2x² − 16x − 25. Das Plus in der Klammer bedeutet also eine Verschiebung nach links.

Noch ein Praxistipp: Ein Scheitelpunkt gehört zur Parabel, also zu einer quadratischen Funktion. Bei anderen Funktionstypen spricht man meist allgemeiner von Extrempunkten. Der Scheitelpunkt-Rechner ist auf Parabeln und ihre üblichen Darstellungen ausgelegt. Wenn keine quadratische Funktion vorliegt oder a fehlt, passt die Scheitelpunktrechnung nicht.