Vektor-Rechner

Was kann der Vektoren Rechner berechnen?

Mit dem Vektoren Rechner prüfst du typische Aufgaben aus der analytischen Geometrie: Betrag, Einheitsvektor, Vielfaches, Addition, Subtraktion, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Winkel, Projektion, Abstand zweier Punkte und Spatprodukt. Je nach Auswahl bekommst du eine Zahl, einen Ergebnisvektor, einen Winkel, eine Fläche oder ein Volumen.

Du wählst oben die gewünschte Rechnung und gibst die Komponenten der Vektoren mit |, Semikolon oder Leerzeichen ein.

Wichtig ist die Art des Ergebnisses. Beim Skalarprodukt entsteht ein einzelner Wert, zum Beispiel 32. Beim Kreuzprodukt entsteht ein neuer Vektor, zum Beispiel (0 | 0 | 1). Beim Betrag bekommst du eine Länge, also wieder eine Zahl. Beim Winkel zwischen Vektoren steht im Ergebnis ein Winkel wie 45 ° und zusätzlich das Bogenmaß 0,7854 rad.

Für reine Richtungsfragen reicht oft das Skalarprodukt. Wenn a · b = 0 ist, stehen die Vektoren orthogonal zueinander. Für Flächen und Normalenvektoren ist dagegen das Kreuzprodukt zuständig. Beim Abstand zweier Punkte wird zuerst der Verbindungsvektor gebildet und danach dessen Betrag berechnet.

Wie berechnet man den Betrag eines Vektors?

Den Betrag eines Vektors berechnest du, indem du jede Komponente quadrierst, die Quadrate addierst und daraus die Wurzel ziehst. In Formelzeichen steht das als |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²). Bei einem Vektor in der Ebene lässt du die nicht vorhandene Komponente einfach weg.

Beispiel: Für a = (3 | 4) lautet die Rechnung:

• |a| = √(3² + 4²)
• |a| = √(9 + 16)
• |a| = √25
• |a| = 5

Der Betrag ist die Länge des Vektors. Aus demselben Ergebnis kannst du auch den Einheitsvektor bilden. Dazu teilst du den Vektor durch seinen Betrag: a⁰ = a ÷ |a| = (3/5 | 4/5) = (0,6 | 0,8). Der Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung wie a, hat aber die Länge 1.

Ein weiteres Beispiel ist a = (2 | 3 | 6). Der Betrag ist 7, denn |a| = √(2² + 3² + 6²) = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Der zugehörige Einheitsvektor ist (2/7 | 3/7 | 6/7) = (0,28571 | 0,42857 | 0,85714).

Skalarprodukt berechnen: Zahl, Lage und Winkel

Beim Skalarprodukt multiplizierst du die Komponenten an derselben Position und addierst die Produkte. Für a = (1 | 2 | 3) und b = (4 | 5 | 6) ergibt sich:

• a · b = 1·4 + 2·5 + 3·6
• a · b = 4 + 10 + 18
• a · b = 32

Das Ergebnis ist kein Vektor, sondern eine Zahl. Diese Zahl hilft dir, die Lage der Vektoren einzuschätzen. Ist das Skalarprodukt positiv, liegt der Winkel unter 90°. Im Beispiel a = (1 | 2 | 3) und b = (4 | 5 | 6) ist die Lage weder parallel noch orthogonal; der Winkel aus der Beispielrechnung beträgt 12,93 °.

Für Orthogonalität ist besonders der Wert 0 wichtig. Bei a = (2 | 3) und b = (-6 | 4) gilt a · b = 2·(-6) + 3·4 = (-12) + 12 = 0. Deshalb stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Dasselbe Prinzip steckt hinter vielen Aufgaben mit rechten Winkeln, Normalen und Lotvektoren.

Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du über den Zusammenhang cos φ = a · b ÷ (|a|·|b|). Für a = (1 | 0) und b = (1 | 1) ist a · b = 1, |a| = 1 und |b| = √2 ≈ 1,41421. Daraus folgt cos φ = √2/2 ≈ 0,70711 und φ = 45°.

Kreuzprodukt berechnen: Normalenvektor und Fläche

Das Kreuzprodukt a × b liefert einen Vektor, der senkrecht auf a und b steht. Die Komponenten berechnest du nach dem Schema a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ | a₃b₁ − a₁b₃ | a₁b₂ − a₂b₁). Das Ergebnis ist daher gut geeignet, wenn du einen Normalenvektor suchst.

Ein einfaches Beispiel ist a = (1 | 0 | 0) und b = (0 | 1 | 0). Das Kreuzprodukt ist (0 | 0 | 1). Die Fläche des Parallelogramms ist |a × b| = 1, die Fläche des Dreiecks ist 0,5. Die Vektoren sind orthogonal, weil a · b = 0 gilt.

Bei a = (1 | 0 | 3) und b = (2 | 1 | -1) ergibt sich a × b = (-3 | 7 | 1). Die Fläche des Parallelogramms beträgt 7,6811, die Fläche des Dreiecks 3,8406. Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren; das zeigt sich daran, dass sein Skalarprodukt mit a und mit b jeweils 0 ergibt.

Das Spatprodukt kombiniert Kreuzprodukt und Skalarprodukt. Für a = (1 | 0 | 0), b = (0 | 1 | 0) und c = (0 | 0 | 1) gilt (a × b) · c = 1. Das Volumen des Spats ist 1, das der Pyramide ist 1/6. Das Vorzeichen zeigt zusätzlich die Orientierung der drei Vektoren.

Abstand, Projektion und typische Fehler bei Vektoren

Viele Vektoraufgaben wirken unterschiedlich, nutzen aber dieselben Grundrechnungen. Der Abstand zwischen zwei Punkten wird über den Verbindungsvektor berechnet. Für A = (1 | 2) und B = (4 | 6) ist AB = B − A = (3 | 4). Danach folgt der Betrag: |AB| = √(3² + 4²) = √25 = 5. Der Mittelpunkt in diesem Beispiel ist M = (5/2 | 4).

Bei der Projektion zerlegst du einen Vektor in einen Anteil in Richtung eines anderen Vektors und einen senkrechten Rest. Für a = (3 | 4) auf b = (1 | 0) ist die Projektion (3 | 0). Die Länge der Projektion ist 3, der Lotvektor ist (0 | 4). Das ist praktisch, wenn du einen Anteil entlang einer Achse oder Richtung suchst.

Typische Fehler entstehen bei der Eingabe und bei der Wahl der Operation:

• Beim Addieren und Subtrahieren rechnest du komponentenweise. Aus a = (2 | 1) und b = (5 | -3) wird a + b = (7 | -2). Aus a = (7 | 4) und b = (2 | 9) wird a − b = (5 | -5).
• Beim Vielfachen wird jede Komponente mit dem Faktor multipliziert. Für 2 · a bei a = (3 | -5 | 1) ergibt sich (6 | -10 | 2).
• Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt sind nicht dasselbe. a · b ist eine Zahl, a × b ist ein Vektor.
• Achte auf negative Komponenten. Klammern helfen, etwa bei 2·(-5) oder 2·(-6).
• Für Lageaussagen ist das exakte Ergebnis oft aussagekräftiger als nur ein Dezimalwert. Ein Skalarprodukt von 0 bedeutet orthogonal.