pq-Formel-Rechner

Wann hilft der pq-Formel-Rechner beim quadratische Gleichung lösen?

Eine quadratische Gleichung erkennst du am Term mit x². Typische Formen sind ax² + bx + c = 0 und x² + px + q = 0. Der Rechner passt besonders gut, wenn du Nullstellen einer Parabel suchst, den Rechenweg kontrollieren willst oder zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel wechseln möchtest.

Gib entweder a, b und c ein oder direkt p und q, wenn deine Gleichung schon in der Normalform steht. Mehr Bedienung braucht es hier nicht: Wähle die passende Form, trage die Koeffizienten mit Vorzeichen ein und prüfe, dass rechts wirklich 0 steht.

Der Unterschied zwischen den Formeln ist vor allem die Vorbereitung. Die pq-Formel nutzt x² + px + q = 0. Steht vor x² noch ein Faktor, musst du vorher durch a teilen. Die Mitternachtsformel, auch abc-Formel genannt, arbeitet direkt mit ax² + bx + c = 0. Bei 2x² − 8x + 6 = 0 wird für die pq-Formel daraus x² − 4x + 3 = 0 mit p = −4 und q = 3. Die Lösung bleibt x₁ = 3, x₂ = 1.

Wie funktioniert die pq-Formel mit Rechenweg?

Die pq-Formel sagt in Worten: Du nimmst die Hälfte von p mit umgekehrtem Vorzeichen und addierst oder subtrahierst die Wurzel aus der halben p-Zahl zum Quadrat minus q. Als Formel: x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q).

Beispiel: x² + 2x − 8 = 0. Hier liest du p = 2 und q = −8 ab. Eingesetzt ergibt sich x₁,₂ = −1 ± √(1² − (−8)). Daraus wird −1 ± √9, also −1 ± 3. Die beiden Lösungen sind x₁ = 2 und x₂ = −4.

Die Mitternachtsformel liefert dasselbe Ergebnis, wenn du a = 1, b = 2 und c = −8 verwendest: x₁,₂ = (−2 ± √(2² − 4 · 1 · (−8))) ÷ 2. Der Ausdruck unter der Wurzel ist hier D = 36. Deshalb gibt es 2 reelle Lösungen.

Eine gute Kontrolle ist der Satz von Vieta. Für dieses Beispiel gilt x₁ + x₂ = −2 = −p und x₁ · x₂ = −8 = q. Wenn Summe und Produkt passen, sind die Vorzeichen meist richtig gesetzt.

Was sagt die Diskriminante beim quadratische Gleichung lösen aus?

Die Diskriminante entscheidet, wie viele reelle Lösungen du bekommst. Bei der abc-Formel ist sie D = b² − 4ac. Der Rechner zeigt sie mit an, weil du daran sofort erkennst, ob die Parabel die x-Achse schneidet, berührt oder gar nicht erreicht.

• D > 0: Es gibt 2 reelle Lösungen. Bei x² − 5x + 6 = 0 ist D = 1, die Lösungen sind x₁ = 3 und x₂ = 2.
• D = 0: Es gibt eine doppelte Lösung. Bei x² − 4x + 4 = 0 ist D = 0, die Lösung ist x = 2.
• D < 0: Es gibt keine reelle Lösung. Bei x² + 4 = 0 ist D = -16. Reell gibt es keine Lösung, komplex steht x = ± 2i.

Die doppelte Lösung ist kein Rechenfehler. Sie bedeutet, dass die Parabel die x-Achse nur berührt. Das siehst du auch an den Linearfaktoren: x² − 4x + 4 = 0 wird zu (x − 2)². Beide rechnerischen Wege fallen also auf denselben x-Wert zusammen.

Bei x² + 2x + 5 = 0 zeigt D = -16 ebenfalls: keine reelle Lösung. Wenn komplexe Lösungen gefragt sind, lautet die exakte Lösung x = −1 ± 2i.

pq-Formel oder abc-Formel: Welche Formel passt wann?

Nutze die pq-Formel, wenn die Gleichung schon als x² + px + q = 0 vorliegt oder sich leicht dorthin bringen lässt. Beispiel: x² − 9x + 14 = 0 hat p = −9 und q = 14. Der Rechenweg führt zu x₁ = 7 und x₂ = 2. Die Linearfaktoren sind (x − 7)(x − 2).

Nutze die abc-Formel, wenn ein Faktor vor x² steht und du nicht erst umformen möchtest. Bei 2x² + 3x − 2 = 0 kannst du direkt mit a = 2, b = 3 und c = −2 rechnen. Das Ergebnis ist x₁ = 0,5 und x₂ = −2. Für die pq-Formel wird dieselbe Gleichung erst zu x² + 1,5x − 1 = 0 mit p = 1,5 und q = −1.

Dezimalzahlen sind kein Problem, solange du Vorzeichen sauber übernimmst. Bei x² − 0,5x − 1,5 = 0 ist p = −0,5 und q = −1,5. Die Lösungen sind x₁ = 1,5 und x₂ = −1. Auch hier hilft die Kontrolle: x₁ + x₂ = 0,5 = −p und x₁ · x₂ = −1,5 = q.

Wenn a = 0 ist, liegt keine quadratische Gleichung mehr vor. Dann passt die pq-Formel nicht, weil der x²-Anteil fehlt. Du musst die Gleichung dann als lineare Gleichung behandeln.

Welche Fehler solltest du bei Nullstellen quadratischer Funktionen vermeiden?

Der häufigste Fehler passiert vor dem Einsetzen: Die Gleichung muss auf einer Seite 0 haben. Wenn rechts noch ein Term steht, verschieben sich b oder c, und die Lösungen stimmen nicht mehr. Erst wenn die Form ax² + bx + c = 0 oder x² + px + q = 0 erreicht ist, sind die Koeffizienten eindeutig.

Achte außerdem auf das Vorzeichen von p. Bei x² + 7x + 10 = 0 ist p = 7, nicht −7. Deshalb startet die pq-Formel mit −3,5 ± √2,25 und ergibt x₁ = −2, x₂ = −5. Bei x² − 6x + 8 = 0 ist p = −6, daraus wird 3 ± √1 und damit x₁ = 4, x₂ = 2.

Wenn a nicht 1 ist, darfst du p und q nicht direkt aus b und c ablesen. Bei 3x² − 12x + 9 = 0 wird erst durch a = 3 geteilt. Die Normalform lautet x² − 4x + 3 = 0, also p = −4 und q = 3. Die Lösungen sind x₁ = 3 und x₂ = 1.

Bei gerundeten Dezimalwerten ist die exakte Form oft klarer. Für x² − 2x − 1 = 0 zeigt der Rechner x₁ = 2,414213562 und x₂ = −0,414213562, aber exakt x = 1 ± √2. Wenn du weiterrechnest, ist die exakte Form meist die bessere Wahl.