Kombinatorik-Rechner

Wann hilft dir der n über k Rechner?

Der n über k Rechner zählt Möglichkeiten. Das brauchst du immer dann, wenn du wissen willst, wie viele Auswahlen, Reihenfolgen oder Anordnungen möglich sind. Der wichtigste Unterschied ist: Ist die Reihenfolge egal oder zählt sie?

Bei einer Kombination ist die Reihenfolge egal. Wenn du 3 aus 10 auswählst, ist dieselbe Gruppe gemeint, egal in welcher Reihenfolge du die Elemente nennst. Dafür ergibt die Rechnung 120 Möglichkeiten.

Bei einer Variation zählt die Reihenfolge. Platz 1 bis 3 bei 10 Läufern ist ein typischer Fall: Dieselben Personen in anderer Reihenfolge sind ein anderes Ergebnis. Für 3 aus 10 ohne Wiederholung sind es dann 720 Möglichkeiten.

Bei einer Permutation ordnest du alle Elemente an. Für 5 verschiedene Personen gibt es 120 Reihenfolgen. Wenn Elemente gleich sind, etwa bei Anagrammen, brauchst du die Permutation mit Wiederholung. Dann werden Vertauschungen gleicher Elemente nicht doppelt gezählt.

So wählst du im Kombinatorik-Rechner den richtigen Fall

Wähle zuerst die Rechenart, dann gib n und k ein oder bei Anagrammen ein Wort beziehungsweise die Häufigkeiten gleicher Elemente.

Die Auswahl der Rechenart hängt an zwei Fragen:

• Reihenfolge egal, ohne Wiederholung: Das ist n über k, also die Kombination ohne Wiederholung. Beispiel: 49 über 6 oder 3 aus 10.
• Reihenfolge egal, mit Wiederholung: Das passt, wenn Sorten mehrfach vorkommen dürfen. Beispiel: 3 Kugeln aus 10 Sorten Eis, mit Ergebnis 220.
• Reihenfolge wichtig, ohne Wiederholung: Das ist eine Variation ohne Wiederholung. Beispiel: Platz 1 bis 3 bei 10 Läufern, mit Ergebnis 720.
• Reihenfolge wichtig, mit Wiederholung: Das ist eine Variation mit Wiederholung. Beispiel: Folgen der Länge 4 aus 8 Zeichen, mit Ergebnis 4.096.
• Alle Elemente anordnen: Das ist eine Permutation. Beispiel: 5 Personen in eine Reihe bringen, mit Ergebnis 120.
• Alle Elemente anordnen, aber einige sind gleich: Das ist eine Permutation mit Wiederholung. Beispiel: MISSISSIPPI mit Ergebnis 34.650.

Ein guter Praxistest: Frag dich, ob „A, B, C“ dasselbe ist wie „C, B, A“. Wenn ja, ist die Reihenfolge egal. Wenn nein, brauchst du eine Rechenart mit Reihenfolge.

Wie berechnet man 49 über 6?

Für n über k teilst du die Anzahl aller geordneten Auswahlen durch die Anzahl der Reihenfolgen innerhalb der Auswahl. In Worten: Du nimmst die Fakultät von n und teilst durch die Fakultät von k und durch die Fakultät von n - k.

Als Formel geschrieben:

C(n, k) = n! ÷ (k!·(n - k)!)

Für 49 über 6 lautet die Rechnung:

C(n, k) = 49! ÷ (6!·43!) = 13.983.816

Im gekürzten Rechenweg siehst du besser, was passiert:

49 über 6 = (49·48·47·46·45·44) ÷ (6·5·4·3·2·1) = 10.068.347.520 ÷ 720 = 13.983.816

Die große Zahl 10.068.347.520 entsteht, weil bei einer geordneten Auswahl zuerst viele Reihenfolgen mitgezählt werden. Durch 720 werden diese Reihenfolgen derselben Auswahl wieder zusammengefasst. Deshalb ist 49 über 6 deutlich kleiner als die geordnete Auswahl, aber immer noch eine große Anzahl an Möglichkeiten.

Die Chance auf eine ganz bestimmte Möglichkeit liegt hier bei 1 : 13.983.816 = 0,0000071511 %. Die wissenschaftliche Schreibweise 1,3984 · 10⁷ ist nur eine kompakte Darstellung desselben Ergebnisses.

Kombination, Variation und Permutation im Vergleich

Die Unterschiede wirken klein, ändern das Ergebnis aber stark. Für dieselben Eingaben 3 aus 10 bekommst du je nach Annahme andere Zahlen:

Fall	Reihenfolge	Wiederholung	Möglichkeiten
Kombination ohne Wiederholung	egal	nein	120
Kombination mit Wiederholung	egal	ja	220
Variation ohne Wiederholung	wichtig	nein	720
Variation mit Wiederholung	wichtig	ja	1.000

Das zeigt den Kern der Kombinatorik: Nicht n und k allein bestimmen das Ergebnis, sondern die Regeln der Auswahl.

Bei Kombination mit Wiederholung darf dieselbe Sorte mehrfach vorkommen. Deshalb ergibt 3 aus 10 Sorten Eis 220 Möglichkeiten, wenn die Reihenfolge egal ist.

Bei Variation mit Wiederholung hat jede Stelle erneut alle Möglichkeiten. Für 4 aus 8 mit Wiederholung entstehen 4.096 Folgen. Das passt zu Zahlenschlössern, Codes oder Passwörtern, bei denen ein Zeichen erneut vorkommen darf.

Bei Permutationen wächst die Zahl besonders schnell, weil alle Elemente angeordnet werden. Für 10 verschiedene Elemente sind es 3.628.800 Reihenfolgen. Schon eine kleine Erhöhung von n kann hier einen großen Sprung machen.

Typische Fehler beim Binomialkoeffizient berechnen

Der häufigste Fehler ist, Reihenfolge und Wiederholung zu vermischen. Bei 3 aus 10 ohne Reihenfolge sind es 120 Möglichkeiten. Wenn die Reihenfolge zählt, sind es 720. Das ist ein anderer Sachverhalt, keine Rundungsfrage.

Ein zweiter Fehler: k größer als n verwenden, obwohl Wiederholung nicht erlaubt ist. Ohne Wiederholung kannst du nicht mehr verschiedene Elemente auswählen, als vorhanden sind. Mit Wiederholung kann dieselbe Sorte oder dasselbe Zeichen erneut vorkommen, deshalb ist dort eine andere Formel nötig.

Bei Anagrammen wird oft vergessen, gleiche Buchstaben zusammenzufassen. MISSISSIPPI hat 11 Buchstaben, aber nicht jede Vertauschung sieht anders aus. Die Rechnung lautet 11! ÷ (1!·4!·4!·2!) = 34.650. Gleiche Elemente zu vertauschen ergibt keine neue Anordnung - deshalb wird durch deren Fakultäten geteilt.

Für eine schnelle Plausibilitätsprüfung hilft der Vergleich mit einfachen Fällen: 2 aus 5 ohne Wiederholung ergibt 10. Für 3 aus 10 ohne Wiederholung ergibt sich 120. Wenn du bei einer Kombination plötzlich mehr Möglichkeiten bekommst als bei der passenden geordneten Auswahl, ist wahrscheinlich der Modus falsch gewählt.

Kombinatorik zählt nur die möglichen Fälle. Ob diese Fälle in einer realen Situation gleich wahrscheinlich sind, ist eine zusätzliche Annahme. Für eine faire Ziehung kann aus der Anzahl eine Chance wie 1 : 120 = 0,83333 % werden. Wenn die Fälle unterschiedlich wahrscheinlich sind, reicht das bloße Abzählen nicht.