Erwartungswert

Was bedeutet Erwartungswert berechnen?

Wenn du den Erwartungswert berechnen willst, suchst du den langfristigen Durchschnitt einer Zufallsgröße. Du fragst also nicht: Was passiert beim nächsten Versuch? Sondern: Welcher Wert ergibt sich im Mittel, wenn derselbe Zufallsversuch sehr oft wiederholt wird?

Beim fairen Würfel ist der Erwartungswert 3,5. Diese Zahl kann bei einem einzelnen Wurf gar nicht fallen. Trotzdem ist sie sinnvoll: Sie beschreibt die Lage der Verteilung. Kleine und große Augenzahlen gleichen sich über viele Würfe aus, der Durchschnitt bewegt sich dann in Richtung 3,5.

Der Erwartungswert ist damit eng mit dem Mittelwert verwandt, aber nicht dasselbe. Der Mittelwert wird aus beobachteten Daten gebildet, etwa aus deinen tatsächlich geworfenen Ergebnissen. Der Erwartungswert wird aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet, also aus den möglichen Werten und ihren Wahrscheinlichkeiten. Wenn du die Verteilung kennst, kannst du den Erwartungswert bestimmen, ohne vorher Daten zu sammeln.

Im Rechner wählst du die Verteilung aus und gibst entweder Werte mit Wahrscheinlichkeiten oder bei einer Binomialverteilung die Anzahl der Versuche und die Trefferwahrscheinlichkeit ein.

Wie funktioniert die Erwartungswert Formel?

Die Erwartungswert Formel lautet in Worten: Multipliziere jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere alle Produkte. In Zeichen steht das als E(X) = Σ xᵢ · pᵢ. Für die Varianz rechnest du danach mit den Abständen der Werte zum Erwartungswert: Var(X) = Σ (xᵢ − E(X))² · pᵢ. Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz.

Ein durchgerechnetes Beispiel ist der faire Würfel. Die Werte sind 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Jede Augenzahl hat dieselbe Wahrscheinlichkeit. In der Rechnung sieht das so aus:

E(X) = 1 · 0,1667 + 2 · 0,1667 + 3 · 0,1667 + 4 · 0,1667 + 5 · 0,1667 + 6 · 0,1667 = 3,5

Danach wird die Streuung um diesen Wert berechnet:

• Var(X) = Σ (x − 3,5)² · p = 2,9167
• σ = √2,9167 = 1,7078

Die Varianz misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert. Sie ist dadurch weniger anschaulich als der Erwartungswert selbst, aber rechnerisch sehr nützlich. Die Standardabweichung liegt wieder in der Einheit der ursprünglichen Zufallsgröße. Beim Würfel heißt σ = 1,7078: Einzelne Würfe schwanken merklich um den langfristigen Durchschnitt, auch wenn der Erwartungswert klar bei 3,5 liegt.

Erwartungswert Würfel und Binomialverteilung richtig einordnen

Beim Würfeln ist der Erwartungswert besonders anschaulich. Ein Würfel hat den Erwartungswert 3,5 für die Augenzahl. Wenn du mehrere Würfel zusammenzählst, steigt der Erwartungswert der Summe entsprechend. Gleichzeitig wächst auch die Streuung.

Würfel	E(Augensumme)	Varianz	σ
1	3,5	2,9167	1,7078
2	7	5,8333	2,4152
3	10,5	8,75	2,958
10	35	29,1667	5,4006
20	70	58,3333	7,6376

Bei der Binomialverteilung geht es um die Anzahl der Treffer in wiederholten gleichen Versuchen. Die Erwartungswert Formel ist hier kürzer: E = n · p. Die Varianz lautet Var = n · p · (1 − p). Das passt etwa zu Münzwürfen, Trefferquoten oder zur Anzahl von Sechsen beim Würfeln, solange jeder Versuch dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit hat und die Versuche unabhängig sind.

Für n = 10 und p = 0,5 erhältst du E(X) = 5, Var(X) = 2,5 und σ = 1,5811. Bei n = 20 und p = 0,3 ergibt sich E(X) = 6, Var(X) = 4,2 und σ = 2,0494. Bei n = 100 und p = 0,1 liegt der Erwartungswert bei 10, die Varianz bei 9 und die Standardabweichung bei 3.

Wichtig: Der Erwartungswert ist keine Zusage für einen einzelnen Durchlauf. Bei n = 10 und p = 0,5 bedeutet E(X) = 5 nicht, dass genau 5 Treffer eintreten müssen. Es heißt, dass 5 Treffer der langfristige Durchschnittswert dieser Verteilung sind.

Erwartungswert Gewinnspiel: fair, günstig oder ungünstig?

Bei Gewinnspielen, Einsätzen und Auszahlungen zeigt der Erwartungswert, ob eine Runde im Mittel lohnt. Dafür müssen Gewinne und Verluste aus deiner Sicht eingetragen werden. Ein Einsatz ist also ein negativer Wert, ein Auszahlungsüberschuss ein positiver Wert.

Ein Beispiel: Du setzt 5 € ein. Bei Gewinn erhältst du 20 € ausgezahlt, dein Nettoergebnis ist dann 15 €. Bei Verlust bleibt es bei -5 €. Mit den Wahrscheinlichkeiten 20 % und 80 % lautet die Rechnung:

E(X) = 15 · 0,2 + (-5) · 0,8 = -1

Der Erwartungswert ist -1. Im Mittel verlierst du also pro Runde. Die Varianz beträgt 64 und die Standardabweichung 8. Das heißt: Die einzelnen Ergebnisse können deutlich vom Mittel abweichen, obwohl die Richtung der Rechnung klar ungünstig ist.

Ein weiteres Spiel mit Auszahlungen -10 €, 0 € und 20 € bei den Wahrscheinlichkeiten 0,5, 0,3 und 0,2 hat ebenfalls E(X) = -1. Die Varianz liegt bei 129, die Standardabweichung bei 11,3578. Der gleiche Erwartungswert kann also mit unterschiedlicher Streuung verbunden sein. Für die Bewertung eines Spiels ist deshalb der Erwartungswert die erste Kennzahl, die Streuung erklärt zusätzlich, wie stark die möglichen Ergebnisse schwanken.

Ein faires Spiel hat einen Erwartungswert von 0. Ein positiver Erwartungswert ist im Mittel günstig für dich, ein negativer Erwartungswert im Mittel ungünstig. Trotzdem kann ein ungünstiges Spiel kurzfristig gewinnen und ein günstiges kurzfristig verlieren.

Welche Fehler solltest du beim Erwartungswert berechnen vermeiden?

Der häufigste Fehler ist eine unvollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeiten müssen zusammen 1 ergeben. Wenn die Summe kleiner oder größer ist, beschreibst du keine vollständige Verteilung und der Erwartungswert ist verzerrt. Prozentwerte, Dezimalzahlen und Brüche sind nur unterschiedliche Schreibweisen - sie müssen aber dieselben Ereignisse abdecken.

Achte auch auf die Reihenfolge. Der erste Wert gehört zur ersten Wahrscheinlichkeit, der zweite Wert zur zweiten Wahrscheinlichkeit und so weiter. Wenn du Werte und Wahrscheinlichkeiten vertauschst, kann ein plausibel wirkendes, aber falsches Ergebnis entstehen.

Bei Geldbeträgen ist das Vorzeichen entscheidend. Ein Verlust gehört mit Minuszeichen in die Rechnung. Wenn du einen Einsatz vergisst oder als positiven Wert einträgst, sieht ein unfaires Spiel schnell besser aus, als es ist. Beim Beispiel mit 15 und -5 ist gerade das Minus bei -5 der Punkt, der den Erwartungswert auf -1 bringt.

Verwechsle den Erwartungswert außerdem nicht mit dem wahrscheinlichsten Wert oder dem Median. Der Erwartungswert kann zwischen möglichen Ergebnissen liegen, wie beim Würfel mit 3,5. Der Median teilt eine Verteilung nach Wahrscheinlichkeit, der Erwartungswert gewichtet die Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Bei symmetrischen einfachen Beispielen können beide nah beieinander liegen, bei schiefen Verteilungen aber deutlich auseinanderfallen.