Binomialverteilung

Was berechnet der Binomialverteilung-Rechner?

Der Binomialverteilung-Rechner berechnet Wahrscheinlichkeiten für eine feste Anzahl gleichartiger Versuche. Jeder Versuch hat nur zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder kein Treffer. Außerdem bleibt die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch gleich und die Versuche beeinflussen sich nicht gegenseitig.

Typische Beispiele sind Münzwürfe, gewürfelte Sechsen, richtig geratene Multiple-Choice-Fragen oder defekte Stücke in einer Qualitätskontrolle. Bei einer fairen Münze ist die Trefferwahrscheinlichkeit für Kopf zum Beispiel 0,5. Bei einer Sechs mit einem fairen Würfel ist sie 1/6. Bei einem Multiple-Choice-Test mit 4 Antworten und reinem Raten ist p = 0,25.

Du gibst ein, ob du eine genaue Trefferzahl, einen Bereich von Treffern oder eine Mindestanzahl an Versuchen suchst. Mehr Bedienung braucht es hier nicht, weil die eigentliche Frage meist in der Unterscheidung der Ereignisse liegt: genau, höchstens, mindestens oder zwischen.

Die Binomialverteilung passt nur, wenn dieselbe Trefferchance bei jedem Versuch gilt. Ziehst du dagegen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Menge, ändert sich die Trefferwahrscheinlichkeit nach jeder Ziehung. Dann ist die Binomialverteilung nur eine Modellvereinfachung und nicht die exakte Verteilung.

Wie berechnet man P(X = k) bei der Binomialverteilung?

Für genau k Treffer besteht die Rechnung aus drei Teilen: Du zählst zuerst, auf wie viele Arten die Trefferpositionen auftreten können. Dann multiplizierst du mit der Wahrscheinlichkeit für die Treffer und mit der Wahrscheinlichkeit für die Nicht-Treffer.

In Worten lautet die Formel: Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer = Anzahl der möglichen Anordnungen · Trefferwahrscheinlichkeit hoch k · Gegenwahrscheinlichkeit hoch Anzahl der Nicht-Treffer. Mathematisch ist das P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 - p)^(n - k). Der Binomialkoeffizient C(n, k) zählt dabei die möglichen Anordnungen der Treffer.

Beispiel: Bei 10 Münzwürfen soll genau 3-mal Kopf fallen. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist 0,5. Der Binomialkoeffizient ist C(10, 3) = 120. Damit lautet die Rechnung: P(X = 3) = 120 · 0,5^3 · 0,5^7 = 0,117188. Als Prozentwert sind das 11,72 %.

Wichtig ist: Diese Zahl meint genau 3 Treffer. Sie umfasst nicht Fälle mit weniger oder mehr Treffern. Deshalb unterscheiden sich die Werte stark von den kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Im selben Beispiel gilt P(X ≤ 3) = 0,171875 und P(X ≥ 3) = 0,945313. Wer „genau“ und „mindestens“ verwechselt, landet also bei einer völlig anderen Aussage.

Was bedeuten höchstens, mindestens und zwischen bei der kumulierten Binomialverteilung?

Die kumulierte Binomialverteilung addiert mehrere Einzelwahrscheinlichkeiten. „Höchstens k Treffer“ bedeutet: Es werden alle Fälle von keinem Treffer bis k Treffern zusammengerechnet. „Mindestens k Treffer“ bedeutet: Es werden k Treffer und alle größeren Trefferzahlen zusammengefasst.

Beim Münzbeispiel mit 10 Würfen und p = 0,5 ist P(X ≤ 3) = 0,171875. Das umfasst die Fälle mit 0, 1, 2 und 3 Treffern. Dagegen ist P(X ≥ 3) = 0,945313. Hier ist 3 Treffer noch enthalten, ebenso alle höheren Trefferzahlen. Wenn du „mehr als k“ meinst, ist k selbst nicht enthalten. Beim selben Beispiel ist P(X > 3) = 0,828125.

Für Bereiche rechnest du von a bis b. Ein Beispiel ist P(2 ≤ X ≤ 4) bei 10 Versuchen und p = 0,5. Das Ergebnis ist 0,366211, also 36,62 %. In Worten: Die Trefferzahl liegt zwischen 2 und 4, beide Grenzen zählen mit.

Noch ein typischer Fall: Bei 12 Versuchen mit p = 0,2 beträgt die Wahrscheinlichkeit für höchstens 3 Treffer 0,794569, also 79,46 %. Im Rechner entspricht das dem Bereich von 0 bis 3 Treffern. Für „mindestens 7 Treffer“ bei 15 Versuchen und p = 0,4 ist der passende Bereich von 7 bis 15 Treffern; das ergibt 0,390187, also 39,02 %.

Erwartungswert, Varianz und Modus der Binomialverteilung richtig lesen

Der Erwartungswert ist der langfristige Durchschnitt, den du bei vielen gleich aufgebauten Wiederholungen erwarten würdest. Er ist nicht automatisch der wahrscheinlichste konkrete Wert in einer einzelnen Rechnung. Die Formel lautet μ = n · p.

Beim Multiple-Choice-Beispiel mit 20 Fragen und p = 0,25 ist der Erwartungswert 5. Die Wahrscheinlichkeit für genau 8 Richtige beträgt 0,060887, also 6,09 %. Für mindestens 8 Richtige ergibt sich 0,101812, also 10,18 %. Das zeigt gut den Unterschied zwischen einem einzelnen Trefferwert und einem Bereich.

Die Varianz misst, wie stark die Trefferzahl streut. Sie lautet σ² = n · p · (1 - p). Die Standardabweichung σ ist die Wurzel daraus. Beim selben Multiple-Choice-Beispiel ist die Varianz 3,75 und die Standardabweichung 1,9365. Der wahrscheinlichste Wert, also der Modus, ist 5.

In der Qualitätskontrolle kann die Interpretation anders wirken: Bei 50 geprüften Stücken und einer Ausschusswahrscheinlichkeit von 3 % ist die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Defekte 0,255518, also 25,55 %. Der Erwartungswert ist 1,5, der wahrscheinlichste Wert aber 1. Ein nicht-ganzzahliger Erwartungswert ist also normal. Er beschreibt einen Durchschnitt, keine zwingend mögliche Trefferzahl.

Mindestanzahl n: Wie oft brauchst du einen Versuch für mindestens einen Treffer?

Manchmal ist nicht die Wahrscheinlichkeit für eine feste Versuchszahl gesucht, sondern die nötige Anzahl an Versuchen. Die Frage lautet dann zum Beispiel: Wie oft muss ich würfeln, damit mindestens eine Sechs mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit fällt?

Für mindestens einen Treffer ist die Gegenrechnung besonders einfach: Statt alle Fälle mit mindestens einem Treffer zu addieren, rechnest du über „kein Treffer“. Die Bedingung lautet 1 - (1 - p)^n ≥ q. Daraus kann n über Logarithmen bestimmt werden.

Beim Würfelbeispiel mit p = 1/6 brauchst du 13 Würfe, um mit mindestens 0,9 Wahrscheinlichkeit mindestens eine Sechs zu erhalten. Mit n = 13 ist P(X ≥ 1) = 0,906536, also 90,65 %. Mit 12 Würfen sind es nur 88,78 %. Der rechnerische Zwischenwert ist 12,6293, deshalb wird auf die nächste ganze Versuchszahl erhöht.

Ein ähnliches Beispiel: Bei p = 0,2 brauchst du 14 Versuche, damit mindestens ein Treffer mit mindestens 0,95 Wahrscheinlichkeit auftritt. Dann ist P(X ≥ 1) = 0,956020, also 95,60 %. Mit 13 Versuchen sind es nur 94,50 %. Für mindestens 3 Treffer bei p = 0,1 liegt die Mindestanzahl bei 52 Versuchen; dann ist P(X ≥ 3) = 0,903367.

Typische Fehler beim Binomialverteilung berechnen

Der häufigste Fehler ist die falsche Ereignisart. „Genau 3 Treffer“ ist nicht dasselbe wie „mindestens 3 Treffer“ und auch nicht dasselbe wie „höchstens 3 Treffer“. Prüfe deshalb zuerst die Wörter in der Aufgabenstellung. „Höchstens“ bedeutet inklusive der Grenze. „Mindestens“ bedeutet ebenfalls inklusive der Grenze. „Mehr als“ und „weniger als“ schließen die genannte Grenze aus.

Ein zweiter Fehler ist ein falsches p. Wenn die Trefferwahrscheinlichkeit als Prozentwert gegeben ist, muss sie als Wahrscheinlichkeit eingesetzt werden. Beim Ausschussbeispiel bedeutet 3 % die Trefferwahrscheinlichkeit für „defekt“. Wenn du stattdessen „nicht defekt“ als Treffer definierst, ändert sich die Bedeutung von X.

Ein dritter Punkt ist die Modellannahme. Die Binomialverteilung braucht unabhängige Versuche mit gleichbleibendem p. Bei Ziehen ohne Zurücklegen aus einer festen Menge ändert sich p nach jeder Ziehung. Dann passt eher ein anderes Modell. Bei großen Grundgesamtheiten kann die Binomialverteilung als Näherung brauchbar sein, aber das hängt vom konkreten Kontext ab.

Auch die Normalverteilung als Näherung solltest du nicht automatisch verwenden. In mehreren Beispielen ist die Bedingung σ > 3 nicht erfüllt, und die Näherung wird als ungenau markiert. Bei 10 Münzwürfen mit p = 0,5 ergibt die Normalnäherung für P(X ≤ 3) den Wert 0,171391, während die exakte Binomialrechnung 0,171875 liefert. Nutze für kleine oder stark asymmetrische Fälle lieber die exakte Binomialverteilung.