Gleichungssystem-Rechner

Wofür ist der Gleichungssystem-Rechner gedacht?

Mit dem Gleichungssystem-Rechner löst du lineare Gleichungssysteme mit mehreren Unbekannten, zum Beispiel ein Gleichungssystem mit 2 unbekannten, ein gleichungssystem 3 unbekannte oder größere Systeme bis 6x6. Geeignet sind Aufgaben aus Schule, Studium und Praxis: Schnittpunkte von Geraden, Mischungsaufgaben, Textaufgaben mit Mengen oder Preise, aber auch reine Koeffizientenmatrizen.

Du gibst deine Gleichungen zeilenweise ein - etwa 2x + 3y = 12 und x - y = 1 - und erhältst Lösung, Lösbarkeit, Rang, Determinante und den Rechenweg mit Gauß-Verfahren.

Der Rechner ist für lineare Gleichungen gedacht. Das heißt: Die Unbekannten kommen nur in der ersten Potenz vor und werden nicht miteinander multipliziert. x + y = 10 passt, x·y = 10 nicht. Auch Terme wie x² gehören nicht zu einem linearen Gleichungssystem.

Wie funktioniert lineares gleichungssystem lösen mit dem Gauß-Verfahren?

Beim Gauß-Verfahren werden die Gleichungen als erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben. Dann werden Zeilen so umgeformt, dass unter der Hauptdiagonale Nullen entstehen. Die Rechenregel lautet in Worten: Von einer Zeile wird ein passendes Vielfaches einer anderen Zeile abgezogen. Ist die Stufenform erreicht, werden die Unbekannten von unten nach oben berechnet.

Für das Beispiel 2x + 3y = 12 und x - y = 1 entsteht zuerst die Matrix mit den Koeffizienten der linken Seite und der rechten Seite. Um x in der zweiten Zeile zu entfernen, wird 2·II - I gerechnet, danach ÷ 5. So entsteht unten die Zeile 0x - y = -2. Daraus folgt y = 2.

Danach wird rückwärts eingesetzt: In 2x + 3y = 12 wird y = 2 eingesetzt. Der Rechenschritt lautet x = (12 - (3·2)) ÷ 2 = (12 - 6) ÷ 2 = 3. Die Lösung ist damit x = 3; y = 2.

Die Kontrolle geht direkt durch Einsetzen in die Ausgangsgleichungen: 2·3 + 3·2 = 12 und 1·3 - 1·2 = 1. Beide Gleichungen stimmen, also passt das Wertepaar.

Wann gibt es genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen?

Ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, hängt nicht nur von der Anzahl der Gleichungen ab. Entscheidend ist, ob die Gleichungen wirklich unabhängige Informationen liefern. Der Rechner zeigt dafür Rang und Determinante an.

Bei einem eindeutig lösbaren Beispiel mit 2x + 3y = 12 und x - y = 1 gilt det A = −5. Außerdem zeigt der Rang Rang A = 2, Rang (A|b) = 2, Unbekannte: 2. Das passt zu genau einer Lösung.

Anders beim System 2x + 4y = 8 und x + 2y = 5: Hier steht im Rechenweg nach der Elimination eine Zeile 0 = 1. Das ist ein Widerspruch. Der Rechner gibt deshalb keine Lösung aus. Auch die Ränge zeigen den Konflikt: Rang A = 1, Rang (A|b) = 2, Unbekannte: 2.

Unendlich viele Lösungen entstehen, wenn weniger unabhängige Gleichungen als Unbekannte übrig bleiben und kein Widerspruch entsteht. Beim Beispiel x + y + z = 3 und x - y + z = 1 lautet die Ausgabe Unendlich viele Lösungen: 1 freier Parameter. Eine mögliche Schreibweise ist x = 2 − t; y = 1; z = t (t ∈ ℝ beliebig). Der freie Parameter zeigt: Du kannst einen Wert wählen, die anderen ergeben sich daraus.

Kann der LGS Rechner auch Brüche, Dezimalzahlen und fehlende Terme?

Ja, der Rechner kann mit Brüchen und Dezimalzahlen umgehen. Bei Brüchen kannst du zum Beispiel 1/2x + y = 5 und x - 3/2y = 1 eingeben. Das Ergebnis lautet x = 34/7; y = 18/7. Der Rechenweg bleibt dabei exakt mit Brüchen, statt voreilig in Dezimalwerte umzuwandeln.

Auch Dezimalzahlen sind möglich. Im Beispiel 1.5x + 2y = 7 und 0.5x - y = 1 wird intern mit Brüchen gerechnet: Aus den Koeffizienten entstehen 3/2 und 1/2. Die Lösung wird als x = 18/5; y = 4/5 ausgegeben.

Fehlt ein Term, ist sein Koeffizient einfach 0. Das siehst du etwa bei einem 4x4-System mit der Gleichung x - 2y + 3z = 5. Dort kommt w in dieser Zeile nicht vor. In der Matrix steht dafür bei w eine 0, und das System kann trotzdem eindeutig lösbar sein. Im Beispiel ergibt sich x = 11/7; y = 15/7; z = 18/7; w = 9/7.

Du musst ein System nicht immer vollständig von Hand in die Form ax + by = c bringen, solange die Gleichungen klar linear geschrieben sind. Trotzdem hilft eine saubere Schreibweise: gleiche Variablen, eindeutige Vorzeichen und eine rechte Seite nach dem Gleichheitszeichen.

Gleichungssysteme mit 2, 3 und mehr Unbekannten in der Praxis

Ein 2x2-System reicht oft schon für typische Alltagsaufgaben. Bei der Textaufgabe mit x + y = 35 und 2x + 4y = 94 steht x für Hühner und y für Kaninchen. Die Lösung lautet x = 23; y = 12. Die Gleichungen bedeuten: Anzahl der Tiere und Anzahl der Beine werden gleichzeitig erfüllt.

Für ein gleichungssystem 3 unbekannte funktioniert das Verfahren genauso, nur mit einer weiteren Spalte und einer weiteren Zeile. Beim Beispiel x + y + z = 6, 2x - y + z = 3 und x + 2y - z = 2 ergibt sich x = 1; y = 2; z = 3. Im Rechenweg wird zuerst x in den unteren Zeilen entfernt, danach y, anschließend wird rückwärts eingesetzt.

Auch größere Systeme bleiben nach demselben Prinzip lösbar. Ein 4x4-System kann zum Beispiel die Lösung x = 2; y = 3; z = 4; w = 1 haben. Bei einem 5x5-System gibt der Rechner etwa v = 193/26; w = 40/13; x = −9/13; y = 17/26; z = 59/13 aus. Bei einem 6x6-System kann die Lösung u = 88/21; v = 71/21; w = 58/21; x = 107/21; y = 64/21; z = 53/21 lauten.

Wichtig ist: Mehr Unbekannte bedeuten nicht automatisch kompliziertere Mathematik, sondern vor allem mehr Zeilenumformungen. Der Gauß-Algorithmus bleibt derselbe.

Typische Fehler beim lineares gleichungssystem lösen vermeiden

Der häufigste Fehler ist ein Vorzeichenfehler. Aus x - y = 1 wird in der Matrix bei y der Koeffizient −1. Wenn du daraus versehentlich 1 machst, löst du ein anderes System.

Achte außerdem auf die Reihenfolge der Variablen. Wenn eine Zeile als w + x + y + z = 10 notiert ist, der Rechenweg aber die Spalten anders sortiert, ist das nicht falsch. Entscheidend ist, dass jeder Koeffizient zur richtigen Variablen gehört. Der Rechner zeigt die Spaltenüberschrift der Matrix deshalb mit an.

Bei Dezimalzahlen und Brüchen solltest du nicht zwischendurch unkontrolliert runden. Eine Lösung wie x = 47/21; y = 32/21; z = 10/3 ist exakt. Wenn du daraus Dezimalwerte machst und früh rundest, kann die Probe ungenau werden.

Prüfe das Ergebnis immer durch Einsetzen in die Ausgangsgleichungen. Das ist die schnellste Kontrolle. Beim Beispiel x = 3; y = 2 stimmen beide Gleichungen: 2·3 + 3·2 = 12 und 1·3 − 1·2 = 1. Wenn eine Gleichung nicht aufgeht, liegt meist ein Abschreibfehler, ein Vorzeichenfehler oder eine falsch übernommene rechte Seite vor.