Gleichungsrechner
Gleichungen lösen mit Rechenweg: 2x + 3 = 7 ergibt x = 2. Lineare, quadratische, Bruch-, Wurzel- und Exponentialgleichungen, mit Probe und Lösungsmenge.
- Lösungsmenge
- L = {2}
- Erkannte Gleichung
- 2x + 3 = 7
- Art der Gleichung
- lineare Gleichung
- Rechenweg (Äquivalenzumformungen)
2x + 3 = 7 | − 3 2x = 4 | : 2 x = 2
- Probe
x = 2: links 7, rechts 7 ✓
Rechenweg mit deinen Zahlen
- lineare Gleichung: 2x + 3 = 7
- Lösung: x = 2
- L = {2}
Was macht ein Gleichung lösen Rechner?
Ein Gleichung lösen Rechner bringt eine Gleichung so um, dass die gesuchte Variable allein steht. Das kann x sein, aber auch y, h, r oder t. Du gibst die Gleichung ein und wählst bei Bedarf die Variable aus, nach der aufgelöst werden soll.
Der Rechner erkennt typische Formen: lineare Gleichung, quadratische Gleichung, Bruchgleichung, Exponentialgleichung, Wurzelgleichung, Logarithmusgleichung, Betragsgleichung und auch Formeln mit mehreren Buchstaben. Bei einer linearen Gleichung gibt es meist genau eine Lösung, bei einer quadratischen Gleichung können mehrere Lösungen entstehen oder im reellen Bereich keine.
Wichtig ist: Eine Gleichung ist keine Rechenaufgabe mit nur einer Seite. Links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen Ausdrücke, die für die richtige Lösung denselben Wert haben müssen. Darum ist das Einsetzen am Ende so hilfreich. Wenn bei x = 10 in der Gleichung 5x − 12 = 3x + 8 links 38 und rechts 38 steht, passt die Lösung.
Wie funktioniert die Berechnung mit Äquivalenzumformungen?
Die Grundidee lautet: Auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe Rechnung ausgeführt. Du darfst also auf beiden Seiten denselben Wert addieren, subtrahieren, multiplizieren oder durch denselben Wert teilen. Beim Teilen darf der Teiler nicht 0 sein. So bleibt die Lösungsmenge erhalten.
Für eine lineare Gleichung der Form ax + b = c wird x durch Umformen freigestellt: Erst wird der Teil ohne x auf die andere Seite gebracht, dann wird durch den Faktor vor x geteilt. In Worten: Ziehe b von c ab und teile danach durch a.
Beispiel: 2x + 3 = 7. Zuerst wird auf beiden Seiten 3 abgezogen. Dadurch bleibt 2x = 4. Danach wird auf beiden Seiten durch 2 geteilt. Das Ergebnis ist x = 2 und die Lösungsmenge lautet L = {2}. Das Einsetzen bestätigt die Lösung: Für x = 2 ergibt die linke Seite 7 und die rechte Seite 7.
Bei x auf beiden Seiten läuft es ähnlich. Aus 3x − 7 = x + 5 wird zuerst x auf eine Seite gebracht. Danach bleiben nur noch x-Terme und reine Zahlen. Am Ende steht x = 6, und beim Einsetzen erhältst du links 11 und rechts 11.
Lineare und quadratische Gleichungen lösen
Lineare Gleichungen enthalten die gesuchte Variable nur in der ersten Potenz, etwa 7x + 4 = 3x + 20. Hier wird x gesammelt, alles andere auf die andere Seite gebracht und anschließend geteilt. Für diese Gleichung ergibt sich x = 4. Auch Klammern ändern daran nichts: Bei 5(x − 3) = 20 wird zuerst die Klammer berücksichtigt, danach folgt die normale lineare Umformung. Das Ergebnis ist x = 7.
Quadratische Gleichungen enthalten x². Typisch ist die Form x² + px + q = 0. Dann kann die pq-Formel verwendet werden: x ist minus p durch 2 plus oder minus die Wurzel aus dem Ausdruck in der Formel. Bei x² − 3x − 4 = 0 ergeben sich x₁ = −1 und x₂ = 4. Beide Werte gehören zur Lösungsmenge L = {−1; 4}.
Dass eine quadratische Gleichung unterschiedliche viele reelle Lösungen haben kann, liegt am Ausdruck unter der Wurzel. Bei x² − 5x + 6 = 0 ist die Diskriminante 1, und es entstehen x₁ = 2 und x₂ = 3. Bei x² + 4x + 4 = 0 ist die Diskriminante 0, daher gibt es eine doppelte Lösung x = −2. Bei x² + 1 = 0 ist die reelle Lösungsmenge leer.
Bruchgleichung lösen: Nenner und Definitionsmenge beachten
Bei Bruchgleichungen ist der Nenner der kritische Teil. Ein Nenner darf nicht 0 werden. Deshalb gehört zur Rechnung zuerst die Definitionsmenge. Bei x/(x − 1) = 2 gilt D = ℝ \ {1}. Der Wert 1 ist ausgeschlossen, weil x − 1 sonst 0 wäre. Die Lösung der Gleichung ist x = 2 und liegt in der Definitionsmenge.
Auch eine Gleichung mit Brüchen kann am Ende linear sein. Bei (x + 2)/3 = (2x − 1)/5 werden die Brüche beseitigt, indem beide Seiten passend multipliziert werden. Danach entsteht eine lineare Gleichung, die zu x = 13 führt. Beim Einsetzen stehen links 5 und rechts 5.
Ein häufiger Fehler ist, beim Multiplizieren nur einen Teil einer Seite zu behandeln. Wenn du einen Bruch wegmultiplizierst, muss die gesamte Seite erfasst werden. Klammern helfen dabei, besonders bei Ausdrücken wie x + 2 oder 2x − 1. Bei Dezimalzahlen ist ebenfalls saubere Schreibweise wichtig: 0,5x + 1,2 = 4,7 wird als lineare Gleichung erkannt und ergibt x = 7.
Exponentialgleichung lösen und Formeln umstellen
Bei Exponentialgleichungen steht die Variable im Exponenten. Dann reichen reine Plus- und Minusumformungen nicht aus. Ein Beispiel ist 3·2^x = 96. Zuerst wird durch 3 geteilt, danach wird logarithmiert. Das Ergebnis ist x = 5. Bei 2^x = 16 ist die Lösung x = 4.
Beim Umstellen von Formeln geht es nicht immer um eine Zahl, sondern um einen Ausdruck. Wenn A = g·h/2 nach h umgestellt wird, wird h freigestellt. Das Ergebnis lautet h = 2A/g. Du erhältst also keine einzelne Zahl, sondern eine Formel für h.
Manchmal entstehen beim Umstellen mehrere Ausdrücke. Bei A = π·r² nach r ergibt sich r₁ = √(A/π) und r₂ = −√(A/π). Mathematisch gehören beide zur Lösung. In einer Sachaufgabe kann aber nur ein bestimmter Wert sinnvoll sein. Wenn r für einen Radius steht, prüfst du zusätzlich die Bedeutung im Kontext und übernimmst nicht blind jeden algebraischen Ausdruck.
Typische Fehler beim Gleichungen lösen vermeiden
Der häufigste Fehler ist eine Umformung, die nur auf einer Seite ausgeführt wird. Wenn du links 12 addierst, musst du rechts ebenfalls 12 addieren. Sonst entsteht eine andere Gleichung mit einer anderen Lösung.
Ein weiterer Fehler betrifft Vorzeichen. Bei 5x − 12 = 3x + 8 wird nicht aus −12 einfach 12, sondern es wird auf beiden Seiten 12 addiert. Danach ist der Term korrekt verschoben. Ebenso wichtig ist der Umgang mit negativen Faktoren: Bei −x = −13 führt das Multiplizieren mit −1 zu x = 13.
Bei Klammern solltest du zuerst sauber auflösen oder die Klammer als Ganzes behandeln. Bei (x − 4)² = 25 reicht es nicht, nur x − 4 zu betrachten und eine einzelne Lösung zu notieren. Die quadratische Gleichung hat x₁ = −1 und x₂ = 9.
Bei Sachaufgaben kommt noch eine inhaltliche Prüfung dazu. Eine rechnerische Lösung kann formal stimmen, aber zur Situation nicht passen. Prüfe deshalb nach dem Rechnen, ob die gefundene Zahl in die ursprüngliche Frage eingesetzt werden darf und ob sie im Zusammenhang sinnvoll ist.
Tabellen zum Nachschlagen
Gleichungen lösen: Aufgaben mit Lösungen
| Gleichung | Lösung | Art |
|---|---|---|
| 2x + 3 = 7 | L = {2} | lineare Gleichung |
| 5(x − 3) = 20 | L = {7} | lineare Gleichung |
| 3x − 7 = x + 5 | L = {6} | lineare Gleichung |
| x/2 + 1 = 4 | L = {6} | lineare Gleichung |
| x/2 − 2 = 3 | L = {10} | lineare Gleichung |
| 4(x + 1) = 2(x − 3) | L = {−5} | lineare Gleichung |
| x² = 16 | L = {−4; 4} | quadratische Gleichung |
| x² − 3x − 4 = 0 | L = {−1; 4} | quadratische Gleichung |
| x² + 4x + 4 = 0 | L = {−2} | quadratische Gleichung |
| 2x² = 8x | L = {0; 4} | quadratische Gleichung |
| x² + 1 = 0 | L = { } | quadratische Gleichung |
| x³ = 27 | L = {3} | Gleichung 3. Grades |
| x³ − x = 0 | L = {−1; 0; 1} | Gleichung 3. Grades |
| √(x + 1) = 3 | L = {8} | Wurzelgleichung |
| √(x + 3) = x − 3 | L = {6} | Wurzelgleichung |
| 2^x = 32 | L = {5} | Exponentialgleichung |
| e^x = 10 | L = {ln(10)} | Exponentialgleichung |
| ln(x) = 1 | L = {e} | Logarithmusgleichung |
| 10^x = 1000 | L = {3} | Exponentialgleichung |
| 1/x + 1 = 3 | L = {1/2} | Bruchgleichung |
| x/(x − 1) = 2 | L = {2} | Bruchgleichung |
| |x − 2| = 5 | L = {−3; 7} | Betragsgleichung |
| sin(x) = 1/2 | L = {π/6; 5π/6} (Hauptwerte) - allgemein x = π/6 + k·2π; x = 5π/6 + k·2π (k ∈ ℤ) | trigonometrische Gleichung |
Beispiele zum Ausprobieren
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Häufige Fragen
Wie löse ich 5x - 12 = 3x + 8?
Die Lösung ist x = 10. Du bringst zuerst die x-Terme auf eine Seite: Aus 5x − 12 = 3x + 8 wird nach dem Abziehen von 3x die Gleichung 2x − 12 = 8. Danach addierst du 12 und teilst durch 2. Beim Einsetzen stehen links 38 und rechts 38.
Was ist die Lösung von 7x + 4 = 3x + 20?
Die Lösung ist x = 4. Ziehe auf beiden Seiten 3x ab, dann bleibt 4x + 4 = 20. Danach ziehst du 4 ab und teilst durch 4. Zur Kontrolle setzt du x = 4 ein: Links ergibt sich 32, rechts ebenfalls 32.
Wie löse ich x² - 5x + 6 = 0?
Die Lösungen sind x₁ = 2 und x₂ = 3. Die Gleichung ist quadratisch und wird mit der pq-Formel gelöst. Hier ist die Diskriminante 1, daher entstehen zwei reelle Lösungen. Beide Werte erfüllen die Gleichung, denn beim Einsetzen wird die linke Seite jeweils 0.
Warum hat x² + 4x + 4 = 0 nur eine Lösung?
Die Lösung ist x = −2, weil die Diskriminante 0 ist. Bei einer quadratischen Gleichung bedeutet das: Beide rechnerischen Lösungen fallen zusammen. Man spricht dann oft von einer doppelten Lösung. Beim Einsetzen von x = −2 ergibt die linke Seite 0.
Was muss ich bei 2/(x - 1) = 4 beachten?
Die Lösung ist x = 3/2, aber x = 1 ist ausgeschlossen. Der Nenner x − 1 darf nicht 0 werden, deshalb gehört 1 nicht zur Definitionsmenge. Nach dem Umformen entsteht 4x − 6 = 0. Beim Einsetzen von x = 3/2 stehen links 4 und rechts 4.
Wie gebe ich Dezimalzahlen in eine Gleichung ein?
Du kannst Dezimalzahlen mit Komma schreiben, zum Beispiel 0,5x + 1,2 = 4,7. Diese Gleichung wird als lineare Gleichung erkannt und ergibt x = 7. Achte darauf, dass das Komma zur Zahl gehört und nicht als Trennzeichen zwischen mehreren Angaben verstanden wird.
Wie stelle ich A = πr² nach r um?
Nach r umgestellt ergibt sich r₁ = √(A/π) und r₂ = −√(A/π). Der Grund ist das Ziehen der Wurzel aus r². In einer geometrischen Anwendung kann ein negativer Radius unpassend sein, algebraisch erscheint er aber als Lösung des Umformens.
Wann brauche ich statt einer Gleichung ein Gleichungssystem?
Ein Gleichungssystem brauchst du, wenn mehrere unbekannte Größen zugleich bestimmt werden sollen und dafür mehrere Gleichungen gegeben sind. Eine einzelne Gleichung wie 3y − 9 = 0 lässt sich direkt nach y auflösen und ergibt y = 3. Bei mehreren Variablen reicht eine einzelne Gleichung oft nicht aus.
Quellen und Prüfung
- Äquivalenzumformung - Wikipedia
- Quadratische Gleichung - Wikipedia
- Bildungsstandards im Fach Mathematik für die Allgemeine Hochschulreife - Kultusministerkonferenz
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Gleichungsrechner. Rechnerinfo, Stand 23.09.2026. https://rechner-info.de/mathe/gleichungsrechner