Varianz-Rechner

Was misst die Varianz beim Varianz berechnen?

Die Varianz beschreibt die Streuung einer Datenreihe um ihren Mittelwert. Kleine Varianz heißt: Die Werte liegen eng beieinander. Große Varianz heißt: Einige Werte liegen deutlich vom Mittelwert entfernt.

Wichtig ist die Quadrierung der Abweichungen. Dadurch heben sich positive und negative Abweichungen nicht gegenseitig auf. Gleichzeitig bekommen weit entfernte Werte mehr Gewicht. In der Reihe 4, 7, 13, 2, 1, 8 liegt der Mittelwert bei 5,8333. Der Wert 13 weicht deutlich stärker ab als 7 und trägt deshalb mit einem größeren quadrierten Anteil zur Varianz bei.

Die Einheit der Varianz ist immer quadriert. Wenn du Längen in Metern auswertest, liegt die Varianz in Quadratmetern. Deshalb ist die Standardabweichung oft anschaulicher: Sie ist die Wurzel aus der Varianz und hat wieder die ursprüngliche Einheit. Für die Reihe 4, 7, 13, 2, 1, 8 ist die Stichprobenvarianz 19,7667 und die Standardabweichung 4,446.

Wie funktioniert die Varianz Formel?

Die Rechnung läuft in Worten so: Erst bestimmst du den Mittelwert. Dann ziehst du diesen Mittelwert von jedem einzelnen Wert ab. Diese Abweichungen quadrierst du und addierst sie. Am Ende teilst du die Summe durch n - 1, wenn es eine Stichprobe ist, oder durch n, wenn du die gesamte Grundgesamtheit hast.

Beispiel als Stichprobe mit 4, 7, 13, 2, 1, 8:

• Mittelwert: 5,8333 bei n = 6
• Summe der Abweichungsquadrate: 98,8333
• Stichprobenvarianz: 98,8333 ÷ (6 - 1) = 19,7667
• Standardabweichung: √19,7667 = 4,446

Wenn dieselben Werte nicht als Stichprobe, sondern als vollständige Grundgesamtheit gelten, teilst du durch n. Dann ergibt sich 16,4722 und die Standardabweichung ist 4,0586. Der Unterschied kommt also nicht aus den Daten, sondern aus der Frage, ob deine Werte alle relevanten Fälle enthalten oder nur einen Ausschnitt davon.

Wann rechne ich mit n und wann mit n - 1?

Nimm n - 1, wenn deine Daten eine Stichprobe sind. Das ist der häufige Fall: Du hast einige Messwerte, Beobachtungen oder Personen und willst auf eine größere Menge schließen. Die Korrektur mit n - 1 macht die Streuungsschätzung größer als die Rechnung mit n.

Nimm n, wenn deine Liste die Grundgesamtheit vollständig enthält. Beispiel: Sind 2, 3, 1, 4, 2, 3, 3, 2, 5, 1, 2, 3 alle Noten einer Klasse, dann ist die Varianz der Grundgesamtheit 1,2431. Die Standardabweichung beträgt 1,1149. Würdest du dieselben Werte als Stichprobe behandeln, käme 1,3561 heraus.

Bei 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 und 9 sieht man den Unterschied ebenfalls: Als Grundgesamtheit ist die Varianz 4, als Stichprobe 4,5714. Der Mittelwert bleibt 5, die Summe der Abweichungsquadrate bleibt 32. Nur der Teiler ändert sich.

Varianz berechnen mit Häufigkeiten und Zufallsgrößen

Bei einer Häufigkeitstabelle gibst du jeden Wert nur einmal ein und ergänzt, wie oft er vorkommt. Das Ergebnis ist dasselbe, als würdest du die Werte einzeln ausschreiben. Für die Werte 1, 2, 3 mit den Häufigkeiten 2, 3, 5 ist der Mittelwert 2,3. Als Stichprobe beträgt die Varianz 0,6778, als Grundgesamtheit 0,61. Die Standardabweichung ist entsprechend 0,8233 oder 0,781.

Bei einer Zufallsgröße rechnest du nicht mit Häufigkeiten, sondern mit Wahrscheinlichkeiten. Für einen fairen Würfel mit den Ausprägungen 1, 2, 3, 4, 5, 6 und gleichen Wahrscheinlichkeiten ist der Erwartungswert 3,5. Die Varianz beträgt 2,9167, die Standardabweichung 1,7078. Der Rechner kann Wahrscheinlichkeiten als Bruch, Dezimalzahl oder Prozent verarbeiten, solange sie zusammen die gesamte Verteilung beschreiben.

Auch beim Verschiebungssatz wird dasselbe Ergebnis geprüft: Beim Würfel gilt E(X²) - E(X)² = 15,1667 - 3,5² = 2,9167. Das ist oft praktisch, wenn du statt einzelner Abweichungen lieber mit Quadraten der Werte arbeitest.

Typische Fehler beim Varianz berechnen vermeiden

Der häufigste Fehler ist die falsche Auswahl zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit. Prüfe daher zuerst, was deine Daten bedeuten: vollständige Liste oder Ausschnitt. Die Werte 4, 7, 13, 2, 1, 8 liefern je nach Auswahl 19,7667 oder 16,4722. Beide Ergebnisse können richtig sein, aber sie beantworten unterschiedliche Fragen.

Zweiter Fehler: Varianz und Standardabweichung werden verwechselt. Die Varianz ist quadriert, die Standardabweichung ist wieder in der ursprünglichen Einheit. Wenn du eine Streuung anschaulich beschreiben willst, ist 4,446 oft leichter zu erklären als 19,7667.

Dritter Punkt: Extremwerte prüfen. In der Reihe 4, 7, 13, 2, 1, 8 reichen Minimum 1 und Maximum 13 bis zu einer Spannweite von 12. Solche Werte treiben die quadrierten Abweichungen stark. Das ist kein Rechenfehler, aber du solltest prüfen, ob der Wert sachlich dazugehört.

Der Variationskoeffizient hilft beim Vergleich verschiedener Reihen, weil er die Standardabweichung ins Verhältnis zum Mittelwert setzt. Bei der Stichprobe 4, 7, 13, 2, 1, 8 liegt er bei 76,22 %. Bei der Reihe 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 als Stichprobe liegt er bei 42,76 %. Das zeigt: Die erste Reihe streut relativ zum Mittelwert stärker.

Zur Eingabe: Wähle Zahlenreihe, Häufigkeitstabelle oder Zufallsgröße und füge die Werte passend getrennt ein.