Wendepunkt-Rechner

Was bedeutet Wendepunkt berechnen?

Beim Wendepunkt berechnen suchst du die Stelle, an der der Graph seine Krümmung wechselt. Vor dem Punkt kann der Graph zum Beispiel rechtsgekrümmt, also konkav, sein. Danach kann er linksgekrümmt, also konvex, sein. Der Punkt selbst besteht aus der Wendestelle auf der x-Achse und dem zugehörigen y-Wert auf dem Graphen.

Mathematisch prüfst du deshalb nicht nur, ob die zweite Ableitung an einer Stelle null wird. Das ist nur die notwendige Bedingung. Entscheidend ist zusätzlich, dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung an dieser Stelle wirklich ändert. Häufig reicht dafür die dritte Ableitung: Ist f’‘’(x₀) ≠ 0, liegt ein echter Wendepunkt vor.

Ein Wendepunkt ist also kein Hochpunkt und kein Tiefpunkt. Beim Hochpunkt oder Tiefpunkt geht es um Steigung und Monotonie. Beim Wendepunkt geht es um die Krümmung. Die Steigung darf dort positiv, negativ oder null sein. Ist sie null, spricht man von einem Sattelpunkt.

So gibst du die Funktion in den Wendepunkt-Rechner ein

Gib deine Funktion in der Schreibweise f(x) ein, zum Beispiel x^3 - 6x^2 + 9x + 1; bei Funktionen wie sin(x), e^x, ln(x) oder sqrt(x) nutzt du zusätzlich den Suchbereich.

Bei Polynomen werden alle Wendepunkte gefunden. Der Suchbereich ist dann vor allem für die Darstellung hilfreich. Bei nicht-polynomialen Funktionen ist der Bereich wichtiger, weil solche Funktionen je nach Ausschnitt unterschiedlich viele Wendepunkte anzeigen können. Das sieht man gut bei sin(x): Im Bereich von -6,3 bis 6,3 erscheinen W₁(−2π | 0), W₂(−π | 0), W₃(0 | 0), W₄(π | 0) und W₅(2π | 0). Im Bereich von -10 bis 10 werden dagegen W₁(−3π | 0), W₂(−2π | 0), W₃(−π | 0), W₄(0 | 0), W₅(π | 0), W₆(2π | 0) und W₇(3π | 0) gefunden.

Achte bei der Eingabe auf Klammern. e^(-x^2) ist etwas anderes als e^-x^2, wenn die Schreibweise missverständlich gelesen wird. Multiplikationszeichen dürfen zwar oft fehlen, aber bei komplizierten Termen machen Klammern die Funktion eindeutig.

Wie funktioniert die Rechnung mit f’’(x) = 0?

Die Rechnung läuft in drei Schritten. Zuerst bildest du die erste Ableitung f’(x), dann die zweite Ableitung f’‘(x) und danach meist die dritte Ableitung f’‘’(x). Die notwendige Bedingung lautet: Setze f’‘(x) = 0. Die hinreichende Prüfung lautet: f’‘’(x₀) ≠ 0 oder ein Vorzeichenwechsel von f’’ an der gefundenen Stelle.

Beispiel: Für f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 ergeben sich

• f’(x) = 3x² − 12x + 9
• f’’(x) = 6x − 12
• f’‘’(x) = 6

Jetzt setzt du die zweite Ableitung null: f’’(x) = 6x − 12 = 0 ⇒ x = 2. Damit hast du die Wendestelle. Für den Punkt brauchst du noch den y-Wert: f(2) = 3. Der Wendepunkt ist damit W(2 | 3).

Die dritte Ableitung bestätigt den Krümmungswechsel: f’‘’(2) = 6 > 0. In diesem Beispiel ist es ein Rechts-Links-Wendepunkt. Das Krümmungsverhalten passt dazu: Für −∞ < x < 2 gilt f’’ < 0, der Graph ist rechtsgekrümmt. Für 2 < x < ∞ gilt f’’ > 0, der Graph ist linksgekrümmt.

Für kubische Funktionen der Form ax³ + bx² + cx + d gibt es außerdem die Kurzform x_W = −b ÷ (3a). Sie ersetzt aber nicht das Verständnis der Ableitungen, vor allem wenn du die Wendetangente oder das Krümmungsverhalten erklären musst.

Wendetangente berechnen und Sattelpunkt erkennen

Die Wendetangente ist die Tangente im Wendepunkt. Ihre Formel lautet in Worten: Steigung im Wendepunkt mal Abstand von der Wendestelle plus y-Wert des Wendepunkts. In Formelschreibweise: y = f’(x₀) · (x − x₀) + f(x₀).

Im Beispiel f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 liegt der Wendepunkt bei W(2 | 3). Die Steigung dort ist −3. Daraus ergibt sich die Wendetangente y = −3x + 9. Die Wendetangente gehört nicht zur Bedingung für den Wendepunkt, sie beschreibt nur die Gerade, die den Graphen an dieser Stelle berührt.

Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Bei f(x) = x^3 ist f’(x) = 3x², f’‘(x) = 6x und f’‘’(x) = 6. Aus f’’(x) = 6x = 0 folgt x = 0. Der y-Wert ist ebenfalls 0, also W(0 | 0). Weil die Steigung 0 ist, lautet die Wendetangente y = 0. Der Rechner kennzeichnet diesen Fall als Rechts-Links-Wendepunkt = Sattelpunkt.

Nicht jeder Wendepunkt ist ein Sattelpunkt. Bei f(x) = x^3 - 3x liegt ebenfalls W(0 | 0), aber die Wendetangente lautet y = −3x. Die Steigung ist dort also nicht null. Deshalb ist das ein Wendepunkt, aber kein Sattelpunkt.

Typische Fehler beim Wendepunkte bestimmen

Der häufigste Fehler ist, f’‘(x) = 0 als alleinigen Beweis zu nehmen. Diese Gleichung liefert nur Kandidaten. Du musst danach prüfen, ob wirklich ein Krümmungswechsel vorliegt. Bei f(x) = x^4 gilt f’’(x) = 12x². Obwohl die zweite Ableitung bei x = 0 null wird, gibt es keinen Wendepunkt. Der Graph wechselt dort nicht von konvex zu konkav oder umgekehrt.

Ein weiterer Fehler ist ein zu kleiner Suchbereich bei periodischen Funktionen. Bei sin(x) findest du im Bereich von -10 bis 10 sieben Wendepunkte. In einem kleineren Ausschnitt können entsprechend weniger erscheinen. Das heißt nicht, dass die Funktion insgesamt nur diese Wendepunkte hat. Der Bereich begrenzt nur die Suche.

Auch bei Funktionen ohne Kandidaten ist die Aussage eindeutig. Für f(x) = e^x - x ist f’‘(x) = e^x. Die Gleichung f’’(x) = e^x = 0 hat im Bereich [−5; 5] keine Lösung. Deshalb gibt es dort keinen Wendepunkt.

Prüfe außerdem, ob du nach Wendestelle oder Wendepunkt gefragt bist. Die Wendestelle ist nur der x-Wert, zum Beispiel x = 2. Der Wendepunkt enthält zusätzlich den y-Wert, also W(2 | 3). In Aufgaben wird beides oft ähnlich formuliert, aber in der Lösung ist der Unterschied relevant.