Ableitungsrechner

Was macht der Ableitungsrechner?

Der Ableitungsrechner bestimmt die Ableitung einer eingegebenen Funktion und zeigt dir den Rechenweg mit den verwendeten Ableitungsregeln. Wenn du zusätzlich eine Stelle vorgibst, bekommst du auch die Steigung an dieser Stelle, die Tangente, die Normale und den Steigungswinkel.

Du kannst damit typische Aufgaben aus Analysis prüfen: Polynome ableiten, e-Funktionen und Logarithmen behandeln, Produkte und Quotienten ableiten oder höhere Ableitungen berechnen. Die Ausgabe hilft besonders dann, wenn du zwar ein Ergebnis hast, aber sehen möchtest, welche Regel an welcher Stelle greift.

Gib deine Funktion ein, wähle die gewünschte Ableitung und die Variable, nach der abgeleitet werden soll; die Stelle für Steigung und Tangente ist optional.

Wie funktioniert die Rechnung beim Ableitung berechnen?

Die Ableitung wird regelweise gebildet. Bei einer Summe wird jeder Summand einzeln abgeleitet. Bei Potenzen gilt in Worten: Der Exponent wird als Faktor nach vorne gezogen und der Exponent wird um eins verringert. Konstanten fallen beim Ableiten weg.

Ein Beispiel ist:

• f(x) = 5x³ − 2x + 7
• f’(x) = 15x² − 2
• an der Stelle x₀ = 1 gilt: f’(1) = 13
• die Tangente lautet: t(x) = 13x − 3

Der Rechenweg dazu ist kurz: Der Summand 5x³ wird mit Faktor- und Potenzregel zu 15x². Der Summand −2x wird zu −2. Die Konstante 7 wird zu 0. Daraus entsteht f’(x) = 15x² − 2.

Wenn du eine Stelle eingibst, wird die Ableitung dort ausgewertet. Das Ergebnis ist die lokale Steigung der Funktion. Im Beispiel ist die Steigung bei x₀ = 1 positiv. Die Tangente ist die Gerade, die den Graphen an dieser Stelle berührt und dieselbe Steigung hat.

Welche Ableitungsregeln erkennt der Ableitungsrechner?

Für einfache Summen reichen meist Summenregel, Faktorregel, Potenzregel und Konstantenregel. Damit lassen sich zum Beispiel Polynome direkt ableiten. Aus f(x) = 3x⁴ − 2x² + 7 wird f’(x) = 12x³ − 4x. Die zweite Ableitung dazu ist f’’(x) = 36x² − 4.

Bei Produkten wird die Produktregel verwendet. Für f(x) = x·ln(x) erhältst du f’(x) = ln(x) + 1. Der Rechenweg zeigt dabei die beiden Faktoren u und v und setzt u’·v + u·v’ ein. Auch bei f(x) = (x − 3)·(x² + 1) führt die Produktregel zum Ergebnis f’(x) = 3x² − 6x + 1.

Bei Brüchen greift die Quotientenregel. Für f(x) = (x² + 1)/(x − 1) ergibt sich f’(x) = (x² − 2x − 1)/(x − 1)². Ein anderes Beispiel ist f(x) = (2x + 1)/(x² − 4), daraus wird f’(x) = −2(x² + x + 4)/(x² − 4)².

Bei verschachtelten Funktionen nutzt der Rechner die Kettenregel. Aus f(x) = e^(x²) wird f’(x) = 2x·e^(x²). Bei f(x) = sin(2x) ist die erste Ableitung f’(x) = 2cos(2x) und die zweite Ableitung f’’(x) = −4sin(2x).

e-Funktion, ln(x) und zweite Ableitung richtig einordnen

Bei e-Funktionen bleibt e^x beim Ableiten erhalten. Wenn noch ein weiterer Summand dabei ist, wird dieser getrennt behandelt. Für f(x) = e^x + 3x lautet die Ableitung f’(x) = e^x + 3. An der Stelle x₀ = 1 ergibt sich f’(1) = e + 3 ≈ 5,718282.

Beim natürlichen Logarithmus gilt: Die Ableitung von ln(x) ist 1/x. Deshalb wird aus f(x) = ln(x) + x² die Ableitung f’(x) = 2x + 1/x. Die zweite Ableitung ist f’’(x) = 2 − 1/x². Achte bei Logarithmen darauf, dass der Definitionsbereich der ursprünglichen Funktion passt. Werte außerhalb des Definitionsbereichs liefern keine sinnvolle Funktionsauswertung.

Höhere Ableitungen entstehen durch wiederholtes Ableiten. Bei f(x) = x⁵ − 4x + 1 ist die erste Ableitung f’(x) = 5x⁴ − 4 und die zweite Ableitung f’‘(x) = 20x³. Bei f(x) = x⁶ − 3x² führt weiteres Ableiten zur dritten Ableitung f’‘’(x) = 120x³.

Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die Steigung ändert. In Kurvendiskussionen nutzt du sie häufig für Krümmung, Wendepunkte oder zur Prüfung von Extremstellen. Der Rechner liefert die Ableitung, die mathematische Interpretation der Stelle musst du passend zur Aufgabe prüfen.

Tangente, Normale und Steigung an einer Stelle

Wenn du eine Stelle x₀ angibst, setzt der Rechner diese Stelle in die erste Ableitung ein. Das Ergebnis ist die Tangentensteigung. Für f(x) = x³ − 2x gilt f’(x) = 3x² − 2. Bei x₀ = 2 ist die Steigung f’(2) = 10, die Tangente lautet t(x) = 10x − 16.

Auch negative Stellen funktionieren. Für f(x) = x² + 4x + 1 ergibt sich f’(x) = 2x + 4. Bei x₀ = −1 ist f’(−1) = 2 und die Tangente ist t(x) = 2x. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente; hier lautet sie n(x) = −x/2 − 5/2.

Bei waagerechter Tangente ist die Steigung 0. Für f(x) = x⁶ − 3x² gilt bei x₀ = 1: f’(1) = 0, die Tangente ist t(x) = −2. Die Normale ist dann eine senkrechte Gerade: x = 1.

Die Tangente ist nur eine lokale lineare Näherung. Sie beschreibt die Funktion besonders in der Nähe der gewählten Stelle gut. Weiter entfernt kann sie stark vom Funktionsgraphen abweichen, vor allem bei stark gekrümmten Funktionen.

Typische Fehler beim Funktion ableiten vermeiden

Achte zuerst auf die Schreibweise. Potenzen schreibst du mit ^, also x^3. Produkte kannst du mit Malpunkt oder direkt schreiben, etwa 2*x oder 2x. Funktionen wie ln(x), sin(x), sqrt(x) oder e^(x²) brauchen klare Klammern, wenn der Ausdruck länger ist.

Häufige Stolperstellen:

• Bei Produkten nicht einfach beide Faktoren einzeln ableiten und multiplizieren. Für x·ln(x) ist das Ergebnis ln(x) + 1.
• Bei Quotienten die Quotientenregel verwenden. Für (x² + 1)/(x − 1) steht im Nenner der Ableitung (x − 1)².
• Bei verschachtelten Funktionen die innere Ableitung nicht vergessen. Aus e^(x²) wird 2x·e^(x²), nicht nur e^(x²).
• Bei ln(x) den Definitionsbereich beachten. Der Graph kann für unzulässige Werte keine Punkte liefern.
• Die Ableitungsvariable bewusst wählen. Wenn du nach t ableitest, bleibt die Rechnung in t: Aus f(t) = 2t³ − 5t + 8 wird f’(t) = 6t² − 5.

Du kannst auch nach anderen Variablen ableiten. Für f(z) = z³ − 6z² + 9 ergibt sich f’(z) = 3z² − 12z. Für f(a) = 5a² − 7a + 10 ergibt sich f’(a) = 10a − 7. Andere Buchstaben in der Funktion werden als Konstanten behandelt, wenn du nach einer bestimmten Variablen ableitest.