Primzahl-Rechner

Was macht der Primzahl-Rechner?

Der Primzahl-Rechner beantwortet drei typische Fragen: Ist eine eingegebene Zahl eine Primzahl, welche Primzahlen liegen in einem Bereich, und welche Zahl steht an einer bestimmten Position in der Primzahlfolge. Für eine einzelne Zahl bekommst du also kein bloßes Ja oder Nein, sondern auch die passende Begründung, die Primfaktorzerlegung, Nachbarprimzahlen und - falls passend - die Position in der Primzahlfolge.

Du wählst oben die gewünschte Aufgabe aus, gibst die Zahl oder den Bereich ein und liest das Ergebnis direkt darunter ab.

Nützlich ist das zum Beispiel, wenn du bei einer Aufgabe prüfen sollst, ob eine Zahl wirklich prim ist. Bei 97 zeigt die Rechnung: 97 ist die 25. Primzahl. Die nächste Primzahl darunter ist 89, die nächste darüber 101. Bei 289 sieht es anders aus: 289 ist keine Primzahl, denn 289 = 17². Gerade solche Quadratzahlen werden leicht übersehen, weil sie auf den ersten Blick oft „prim wirken“.

Wie funktioniert der Primzahltest?

Die Rechnung folgt einer einfachen Regel: Eine Zahl ist prim, wenn sie mindestens 2 ist und keinen Teiler außer 1 und sich selbst hat. Praktisch musst du dafür nicht durch alle kleineren Zahlen teilen. Es reicht, mögliche Primteiler bis zur Quadratwurzel der Zahl zu prüfen.

Warum reicht das? Wenn eine Zahl zusammengesetzt ist, dann hat sie einen kleineren und einen größeren Faktor. Der kleinere Faktor kann nicht größer als die Quadratwurzel sein. Findest du bis dorthin keinen Teiler, gibt es auch keinen passenden größeren Partnerfaktor.

Beispiel 97: Die Quadratwurzel liegt bei √97 ≈ 9,85. Deshalb werden die Primzahlen 2, 3, 5 und 7 geprüft. 97 ist durch keine davon teilbar. Damit bleiben nur die Teiler 1 und 97, also ist 97 prim.

Beispiel 289: Hier findet die Rechnung einen Teiler. 289 ist durch 17 teilbar, denn 289 : 17 = 17. Deshalb ist 289 keine Primzahl, sondern 17². Die Zahl hat 3 Teiler, nicht 2.

Warum ist 1 keine Primzahl - und warum ist 2 besonders?

1 ist keine Primzahl, weil sie nur einen Teiler hat: sich selbst. Für eine Primzahl brauchst du genau zwei verschiedene Teiler, nämlich 1 und die Zahl selbst. Darum beginnt die Primzahlfolge mit 2.

2 ist zugleich ein Sonderfall: 2 ist prim und die kleinste Primzahl. Außerdem ist 2 die einzige gerade Primzahl. Jede andere gerade Zahl ist durch 2 teilbar und hat damit einen zusätzlichen Teiler. Wenn du also eine gerade Zahl größer als 2 prüfst, ist die Primzahlfrage schnell entschieden.

Bei ungeraden Zahlen ist Vorsicht nötig. Ungerade heißt nicht automatisch prim. 49 ist ungerade, aber 49 = 7². 91 ist ebenfalls ungerade, aber 91 = 7 · 13. Auch 143 ist keine Primzahl, denn 143 = 11 · 13. Der Rechner ist hier hilfreich, weil er nicht beim Eindruck der Zahl stehen bleibt, sondern einen konkreten Teiler oder die fehlenden Teiler ausgibt.

Primzahlen bis 100 und bis 1.000 einordnen

Für Listenfragen zeigt der Rechner alle Primzahlen in einem Bereich. Von 1 bis 100 gibt es 25 Primzahlen. Die Liste beginnt mit 2, 3, 5, 7, 11 und endet bei 97. Die Summe dieser Primzahlen ist 1.060, der Anteil im Bereich beträgt 25 %.

Von 100 bis 200 liegen 21 Primzahlen. Die Liste beginnt mit 101, 103, 107, 109, 113 und endet mit 199. Der Anteil beträgt 20,79 %, die Summe 3.167.

Von 1 bis 1.000 gibt es 168 Primzahlen. Der Anteil beträgt 16,8 %, die Summe 76.127. Dass der Anteil sinkt, ist normal: Je größer die Zahlen werden, desto weiter liegen Primzahlen im Durchschnitt auseinander. Trotzdem gibt es auch in höheren Bereichen immer wieder nahe Paare. Beispiele für Primzahlzwillinge sind (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193) und (197, 199).

Wenn du eine komplette Liste brauchst, ist die Bereichsfunktion meist besser als einzelne Zahlen nacheinander zu prüfen. Für Aufgaben wie „Primzahlen bis 100“ bekommst du dadurch sofort eine kopierbare Liste statt vieler Einzelentscheidungen.

n-te Primzahl statt einzelne Zahl prüfen

Manchmal ist die Frage nicht „Ist das eine Primzahl?“, sondern „Welche Primzahl steht an dieser Stelle?“. Dann nutzt du die Funktion für die n-te Primzahl. Beispiele: Die 100. Primzahl ist 541, die 1.000. Primzahl ist 7.919, die 10.000. Primzahl ist 104.729.

Das ist ein anderer Aufgabentyp als ein normaler Primzahltest. Wenn du wissen willst, ob 541 prim ist, reicht die Prüfung dieser Zahl. Wenn du wissen willst, welche Zahl an Position 100 steht, muss die Primzahlfolge bis zu dieser Position aufgebaut werden.

Die Positionsangabe kann auch bei geprüften Zahlen helfen. Bei 97 zeigt die Rechnung, dass 97 die 25. Primzahl ist. Bei einer zusammengesetzten Zahl wird stattdessen angegeben, wie viele Primzahlen bis dorthin existieren. Bei 289 gibt es 61 Primzahlen bis 289.

Typische Fehler beim Primzahl prüfen

Der häufigste Fehler ist, 1 als Primzahl zu zählen. Das passt nicht zur Definition, weil 1 keine zwei verschiedenen Teiler hat. Ebenso falsch ist die Annahme, jede ungerade Zahl sei prim. 9 = 3², 21 = 3 · 7, 27 = 3³, 39 = 3 · 13, 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19 und 87 = 3 · 29 zeigen das Gegenteil.

Ein weiterer Fehler: nur durch 2, 3 und 5 zu testen. Das reicht bei vielen kleinen Alltagsbeispielen, aber nicht allgemein. 121 ist nicht durch 2, 3 oder 5 teilbar, trotzdem ist 121 keine Primzahl, denn 121 = 11². Auch 133 fällt erst durch 7 · 19 auf.

Achte außerdem auf die Fragestellung. Für ggT, kgV oder das Kürzen von Brüchen bringt dir die Primfaktorzerlegung oft mehr als ein reines „prim“ oder „nicht prim“. Wenn eine Zahl zusammengesetzt ist, brauchst du die Faktoren. Wenn sie prim ist, weißt du sofort: Sie lässt sich im Bereich der natürlichen Zahlen nicht weiter in kleinere Faktoren zerlegen.