Wurzelrechner

Was bedeutet wurzel ziehen?

Beim wurzel ziehen suchst du die Zahl, die durch wiederholtes Multiplizieren wieder zum Radikanden führt. Der Radikand ist die Zahl unter dem Wurzelzeichen. Bei der Quadratwurzel wird eine Zahl mit sich selbst multipliziert, bei der Kubikwurzel kommen gleiche Faktoren zusammen, und bei der n-ten Wurzel bestimmt der Wurzelexponent n, wie oft derselbe Faktor vorkommt.

Wähle die Wurzelart, gib den Radikanden ein und bei der n-ten Wurzel zusätzlich den Wurzelexponenten n.

Ein paar feste Anker helfen beim Kopfrechnen: Die Quadratwurzel aus 169 ist 13, denn 13² = 169. Die Quadratwurzel aus 225 ist 15, denn 15² = 225. Bei Kubikwurzeln funktioniert derselbe Gedanke mit Hochzahlen: Die Kubikwurzel aus 64 ist 4, denn 4³ = 64. Die Kubikwurzel aus 1.000 ist 10, denn 10³ = 1.000.

Wenn eine Wurzel glatt aufgeht, ist das Ergebnis eine ganze Zahl. Geht sie nicht glatt auf, bleibt entweder eine exakte Wurzelform stehen oder du verwendest einen Dezimalwert.

Wie rechnet man eine Quadratwurzel?

Die allgemeine Schreibweise lautet: ⁿ√x = x^(1/n). In Worten: Eine n-te Wurzel kannst du als Potenz mit dem Kehrwert des Wurzelexponenten schreiben. Für die Quadratwurzel ist n = 2, also √x = x^(1/2). Außerdem gilt bei geeigneten Faktoren: √(a · b) = √a · √b. Diese Regel hilft, Wurzeln zu vereinfachen.

Beispiel Quadratwurzel aus 16:

• Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 16 ergibt.
• Das Ergebnis ist 4.
• Als Potenz geschrieben: 16^(1/2) = 16^0,5.
• Die Kontrolle lautet: 4² = 16.

Das ist der Grund, warum 16 als Quadratzahl gilt. Bei Quadratzahlen endet die Rechnung nicht in einer langen Dezimalzahl. Bei 25 erhältst du 5, bei 64 erhältst du 8 und bei 100 erhältst du 10. Solche Werte sind gute Orientierungspunkte, wenn du eine nicht aufgehende Wurzel ungefähr einordnen willst.

Warum bleibt √2 oder √3 als Wurzel stehen?

Nicht jede Quadratwurzel ergibt eine ganze Zahl. Die Wurzel aus 2 ist 1,4142135624, gerundet 1,41. Exakt bleibt sie √2, weil sie nicht weiter vereinfachbar und irrational ist. Ähnlich ist es bei √3: Der Dezimalwert ist 1,7320508076, gerundet 1,73, exakt bleibt √3.

Zur Einordnung nutzt du benachbarte Quadratzahlen. Für √2 gilt: √1 = 1 < √2 < 2 = √4. Für √3 gilt ebenfalls, dass der Wert zwischen √1 und √4 liegt. Dadurch erkennst du ohne Taschenrechner, in welchem Bereich das Ergebnis liegen muss.

Manche nicht aufgehenden Wurzeln lassen sich trotzdem vereinfachen. Bei √20 ist der Dezimalwert 4,4721359550, gerundet 4,47. Exakt kannst du aber 2√5 schreiben. Der Grund ist die Zerlegung in einen quadratischen Faktor: √20 wird zu 2√5. Praktisch heißt das: Erst prüfen, ob unter der Wurzel ein Quadratzahl-Faktor steckt, dann den verbleibenden Teil unter der Wurzel lassen.

Kubikwurzel und n-te Wurzel berechnen

Bei der Kubikwurzel suchst du eine Zahl, die als gleicher Faktor wieder den Radikanden ergibt. Die dritte Wurzel aus 27 ist 3, denn 3³ = 27. Die Kubikwurzel aus 64 ist 4, denn 4³ = 64. Die Kubikwurzel aus 1.000 ist 10, denn 10³ = 1.000.

Die n-te Wurzel verallgemeinert dieses Prinzip. Die vierte Wurzel aus 625 ist 5, weil 5⁴ = 625. Die fünfte Wurzel aus 32 ist 2, weil 2⁵ = 32. Auch höhere Wurzelexponenten sind möglich: Die 10. Wurzel aus 1.024 ist 2, denn 2¹⁰ = 1.024. Die 7. Wurzel aus 823.543 ist 7, denn 7⁷ = 823.543.

Geht die n-te Wurzel nicht glatt auf, erhältst du wieder eine exakte Form oder einen Dezimalwert. Für die n-te Wurzel aus 81 mit n = 3 ist das Ergebnis 4,3267487109, gerundet 4,33; exakt lässt sich das als 3∛3 schreiben.

Typische Fehler beim wurzel ziehen vermeiden

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Quadratwurzel und Kubikwurzel. √64 ist 8, aber ∛64 ist 4. Dasselbe Radikand kann also je nach Wurzelexponent ein anderes Ergebnis haben. Achte deshalb zuerst auf das Wurzelzeichen oder den angegebenen Exponenten n.

Ein zweiter Fehler ist zu frühes Runden. Wenn du mit 1,41 statt 1,4142135624 weiterrechnest, kann sich die Abweichung in weiteren Schritten bemerkbar machen. Für eine kurze Antwort ist die Rundung auf 1,41 oft ausreichend, für eine Folgerechnung ist der genauere Wert besser.

Drittens solltest du nicht jede Wurzel sofort als Dezimalzahl schreiben. √20 ist als 2√5 oft übersichtlicher als 4,4721359550. In Aufgaben mit weiteren Wurzeln kann die exakte Form das Kürzen oder Zusammenfassen erleichtern.

Bei negativen Radikanden gilt: Im Bereich der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel daraus nicht definiert. Bei ungeradem Wurzelexponenten kann eine reelle Wurzel existieren. Wenn eine Aufgabe keine komplexen Zahlen behandelt, solltest du diesen Unterschied nicht übergehen.

Eine einfache Kontrolle bleibt: Potenziere dein Ergebnis wieder mit dem passenden Exponenten. Aus 15 wird mit 15² wieder 225, aus 5 wird mit 5⁴ wieder 625.