ggT & kgV Rechner

Wann brauchst du einen kgV Rechner und wann den ggT Rechner?

Das kgV suchst du, wenn mehrere Abläufe, Vielfache oder Nenner auf einen gemeinsamen Wert gebracht werden sollen. Typisch ist der Hauptnenner bei Brüchen: Für die Nenner 4, 6 und 8 ist das kgV 24. Damit kannst du Brüche auf denselben Nenner bringen, ohne einen größeren gemeinsamen Nenner zu wählen als nötig.

Den ggT brauchst du, wenn du etwas möglichst weit kürzen, aufteilen oder gemeinsame Faktoren finden willst. Beim Bruch 18/24 ist der ggT 6. Deshalb lässt sich der Bruch durch 6 kürzen und wird zu 3/4. Bei 48/180 ist der ggT 12, daraus wird 4/15.

Der Unterschied ist kurz gesagt: Das kgV schaut auf gemeinsame Vielfache. Der ggT schaut auf gemeinsame Teiler. Bei 18 und 24 sind die gemeinsamen Teiler 1, 2, 3 und 6. Das größte davon ist 6. Die Vielfachen treffen sich erstmals bei 72, also ist 72 das kleinste gemeinsame Vielfache.

Im Rechner wählst du nur aus, ob du kgV, ggT oder die Teiler einer Zahl berechnen willst, und gibst die natürlichen Zahlen getrennt durch Komma, Semikolon oder Leerzeichen ein.

Wie funktioniert kgV berechnen mit Primfaktoren?

Für das kgV zerlegst du jede Zahl in Primfaktoren. Dann nimmst du alle vorkommenden Primfaktoren mit dem jeweils größten Exponenten. Für den ggT machst du fast das Gegenteil: Du nimmst nur die gemeinsamen Primfaktoren mit dem jeweils kleinsten Exponenten.

Beispiel mit 18 und 24:

• 18 = 2 · 3²
• 24 = 2³ · 3
• ggT = 2 · 3 = 6
• kgV = 2³ · 3² = 72

Die Exponenten erklären den Unterschied. Beim Primfaktor 2 steht bei 18 der Exponent 1, bei 24 der Exponent 3. Für den ggT zählt der kleinere Exponent, für das kgV der größere. Beim Primfaktor 3 ist es umgekehrt: 18 enthält 3², 24 enthält 3. So entsteht beim ggT 2 · 3 und beim kgV 2³ · 3².

Bei zwei Zahlen gibt es zusätzlich eine gute Kontrolle: ggT mal kgV ergibt das Produkt der beiden Zahlen. Im Beispiel steht 6 · 72 = 432 = 18 · 24. Wenn diese Kontrolle nicht passt, ist meist bei der Primfaktorzerlegung oder bei den Exponenten etwas verrutscht.

Eine zweite Rechenart ist der euklidische Algorithmus. Dabei teilst du wiederholt mit Rest: Für 18 und 24 ergibt sich 24 = 1 · 18 + 6 und danach 18 = 3 · 6 + 0. Der letzte Rest, der nicht 0 ist, ist 6. Damit kennst du den ggT. Das kgV bekommst du bei zwei Zahlen danach über das Produkt geteilt durch den ggT.

kgV von mehreren Zahlen: Was ändert sich?

Bei mehreren Zahlen bleibt die Idee gleich. Du vergleichst alle Primfaktoren und ihre Exponenten. Für das kgV nimmst du von jedem Primfaktor den höchsten Exponenten, der irgendwo vorkommt. Für den ggT nimmst du nur Primfaktoren, die in allen Zahlen vorkommen, jeweils mit dem kleinsten Exponenten.

Ein gutes Beispiel sind 8, 12 und 20:

• 8 = 2³
• 12 = 2² · 3
• 20 = 2² · 5
• ggT = 4
• kgV = 120

Der gemeinsame Teil aller drei Zahlen ist 2², also 4. Für das kgV kommen dagegen 2³, 3 und 5 zusammen. Deshalb ist 120 das kleinste gemeinsame Vielfache.

Beim Hauptnenner funktioniert das genauso. Für 1/4, 1/6 und 1/8 ist der Hauptnenner 24. Die Zerlegungen sind 4 = 2², 6 = 2 · 3 und 8 = 2³. Das kgV nimmt daraus 2³ · 3 = 24.

Achte bei mehreren Zahlen darauf, dass ein ggT von 1 nur heißt: Alle Zahlen zusammen haben außer 1 keinen gemeinsamen Teiler. Das heißt nicht automatisch, dass jede Zahl mit jeder anderen teilerfremd ist. Bei 7, 9 und 21 ist der ggT 1, und das kgV ist 63. Trotzdem steckt in 7 und 21 derselbe Primfaktor 7. Der Ausdruck teilerfremd bezieht sich hier also auf die ganze Gruppe.

Teiler einer Zahl finden: Liste, Anzahl und Teilerpaare

Wenn du die Teiler einer einzelnen Zahl suchst, geht es nicht um ein gemeinsames Ergebnis mehrerer Zahlen, sondern um alle Zahlen, durch die die Zahl ohne Rest teilbar ist. Bei 60 sind das 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Insgesamt hat 60 damit 12 Teiler, die Summe aller Teiler ist 168.

Die Primfaktorzerlegung hilft auch hier. Für 60 gilt 60 = 2² · 3 · 5. Aus den Exponenten lässt sich die Teileranzahl bestimmen: (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12. Du musst also nicht raten, ob du einen Teiler vergessen hast.

Teiler treten außerdem paarweise auf. Bei 60 gehören zum Beispiel diese Paare zusammen:

• 1 · 60 = 60
• 2 · 30 = 60
• 3 · 20 = 60
• 4 · 15 = 60
• 5 · 12 = 60
• 6 · 10 = 60

Dieses Paarprinzip ist praktisch: Findest du einen kleinen Teiler, kennst du zugleich den passenden großen Teiler. Bei 216 sieht man das noch deutlicher. Die Teiler sind 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108 und 216. Die Anzahl ist 16, und die Summe aller Teiler ist 600.

Eine Primzahl erkennst du daran, dass sie genau die Teiler 1 und sich selbst hat. Für 97 sind die Teiler 1 und 97, die Anzahl der Teiler ist 2. Bei 144 ist die Lage anders: 144 = 2⁴ · 3², die Zahl hat 15 Teiler und ist außerdem eine Quadratzahl. Deshalb ist die Teileranzahl ungerade.

Typische Fehler beim größten gemeinsamen Teiler und kleinsten gemeinsamen Vielfachen

Der häufigste Fehler ist, ggT und kgV zu verwechseln. Der ggT ist ein Teiler und kann daher nicht größer sein als die beteiligten Zahlen. Das kgV ist ein Vielfaches und liegt bei typischen Aufgaben oft deutlich darüber. Bei 15 und 25 ist der ggT 5, das kgV 75. Wenn du beide Werte vertauschst, passt auch die Kontrolle über das Produkt nicht mehr.

Ein weiterer Fehler entsteht bei Primfaktoren: Für den ggT nimmst du die kleinsten gemeinsamen Exponenten, nicht die größten. Für das kgV nimmst du die größten Exponenten aller vorkommenden Primfaktoren, nicht nur die gemeinsamen. Bei 48 und 180 ist 48 = 2⁴ · 3 und 180 = 2² · 3² · 5. Der ggT ist 12, das kgV ist 720. Der Primfaktor 5 gehört also nicht in den ggT, aber sehr wohl ins kgV.

Bei Brüchen solltest du sauber unterscheiden: Zum Kürzen brauchst du den ggT von Zähler und Nenner. Für einen gemeinsamen Nenner brauchst du das kgV der Nenner. Für 12/18 ist der ggT 6, gekürzt wird zu 2/3. Für die Brüche 1/12 und 1/18 ist der Hauptnenner 36.

Auch bei der Eingabe ist Klarheit hilfreich. Verwende natürliche Zahlen und keine gemischten Angaben wie Brüche, Dezimalzahlen oder Maßeinheiten im Zahlenfeld. Der Rechner arbeitet mit Teilbarkeit. Dafür müssen die Werte als ganze natürliche Zahlen vorliegen.