Matrix-Rechner

Was kann der Matrix-Rechner berechnen?

Der Matrix-Rechner hilft dir bei typischen Aufgaben aus der linearen Algebra: Determinante berechnen, inverse Matrix berechnen, Matrizen multiplizieren, Rang einer Matrix berechnen, transponierte Matrix bilden, Zeilenstufenform bestimmen sowie Summe, Differenz, Vielfaches und Potenzen ausrechnen.

Du wählst die gewünschte Berechnung, trägst Matrix A ein und ergänzt Matrix B nur dann, wenn die Rechenart eine zweite Matrix braucht.

Praktisch ist vor allem der Rechenweg. Du bekommst also nicht nur ein Ergebnisfeld, sondern siehst, welche Regel angewendet wurde: bei einer Determinante etwa Hauptdiagonale minus Nebendiagonale, bei einer inversen Matrix das Gauß-Jordan-Verfahren oder bei einem Produkt das Schema Zeile mal Spalte. So kannst du das Ergebnis in Hausaufgaben, Skripten oder Klausurvorbereitung leichter nachvollziehen.

Wie berechnet man die Determinante einer 2 × 2-Matrix?

Bei einer 2 × 2-Matrix nimmst du das Produkt der Hauptdiagonale und ziehst davon das Produkt der Nebendiagonale ab. In Worten: links oben mal rechts unten minus rechts oben mal links unten.

Für die Matrix (2 1 | 1 2) lautet die Rechnung:

det(A) = 2·2 - 1·1 = 3

Die Determinante sagt dir direkt etwas über die Matrix: Ist det(A) ungleich 0, ist die Matrix regulär und besitzt eine Inverse. Ist det(A) gleich 0, ist sie singulär und hat keine Inverse. Ein Beispiel dafür ist (1 2 | 2 4). Hier steht in der Tabelle det(A) = 0, also keine Inverse.

Bei 3 × 3-Matrizen kannst du die Regel von Sarrus verwenden. Für (1 2 3 | 0 4 5 | 1 0 6) ergibt die Sarrus-Rechnung det(A) = 22. Der Rechenweg addiert drei Produkte der Hauptdiagonalen und zieht drei Produkte der Nebendiagonalen ab. Die Laplace-Entwicklung liefert für dieselbe Matrix ebenfalls det(A) = 22. Das ist eine gute Kontrolle, wenn du unsicher bist.

Wann ist eine Matrix invertierbar?

Eine quadratische Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante nicht 0 ist. Dann gibt es eine Matrix A⁻¹, die beim Multiplizieren mit A die Einheitsmatrix ergibt. Für die Matrix (2 1 | 5 3) ist die Determinante 1. Deshalb ist sie regulär, und die inverse Matrix lautet:

[ 3 -1 ] [ -5 2 ]

Bei einer 2 × 2-Matrix ist die Formel besonders kompakt: Du tauschst die Einträge der Hauptdiagonale, änderst die Vorzeichen auf der Nebendiagonale und multiplizierst alles mit 1/det(A). Beim Beispiel (2 1 | 5 3) steht im Rechenweg: det(A) = 2·3 - 1·5 = 1, danach A⁻¹ = 1/1 · (3 -1 | -5 2).

Für größere quadratische Matrizen wird meist das Gauß-Jordan-Verfahren genutzt. Bei (1 0 2 | 0 1 1 | 3 0 1) ist det(A) = -5, also existiert eine Inverse. Der Rechenweg formt (A | E) so lange um, bis links die Einheitsmatrix steht. Rechts bleibt dann A⁻¹ mit den Einträgen (-1/5 0 2/5 | -3/5 1 1/5 | 3/5 0 -1/5).

Was sagt der Rang einer Matrix aus?

Der Rang beschreibt, wie viele Zeilen nach dem Gauß-Verfahren noch wirklich Information enthalten. In der Zeilenstufenform zählst du die Zeilen, die nicht nur aus Nullen bestehen. Genau diese Anzahl ist der Rang.

Für die Matrix (1 2 3 | 2 4 6 | 1 1 1) ergibt sich Rang(A) = 2. Die Zeilenstufenform ist:

[ 1 2 3 ] [ 0 -1 -2 ] [ 0 0 0 ]

Die Nullzeile zählt nicht mit. Zugleich zeigt das Ergebnis: det(A) = 0 und die Matrix ist nicht invertierbar. Im Ergebnis steht dazu: nein - Rang 2 < 3.

Die Zeilenstufenform hilft auch, lineare Abhängigkeiten zu erkennen. Wenn nach der Umformung eine Nullzeile entsteht, war mindestens eine Zeile durch andere Zeilen ausdrückbar. Beim Gauß-Jordan-Verfahren gehst du noch weiter: Pivot-Elemente werden auf 1 gebracht, darüber und darunter entstehen Nullen. Für (2 4 | 1 3) ergibt die reduzierte Zeilenstufenform die Einheitsmatrix (1 0 | 0 1), also voller Rang.

Wie funktionieren Matrizenprodukt, Summe und Transponierte?

Beim Matrizenprodukt gilt: Zeile mal Spalte. Für A = (1 2 | 3 4) und B = (5 6 | 7 8) ergibt A · B die Matrix (19 22 | 43 50). Der Rechenweg zeigt jeden Eintrag einzeln, zum Beispiel c₁₁ = 1·5 + 2·7 = 19.

Achte bei der Multiplikation auf die Reihenfolge. Im Beispiel ist A · B = (19 22 | 43 50), aber B · A = (23 34 | 31 46). Matrizenmultiplikation ist also nicht kommutativ. Das ist einer der häufigsten Denkfehler.

Summe und Differenz sind einfacher: Du rechnest eintragweise. Bei (1 1 | 1 1) + (2 3 | 4 5) entsteht (3 4 | 5 6). Bei (9 8 | 7 6) - (1 2 | 3 4) entsteht (8 6 | 4 2). Beide Matrizen müssen dafür dasselbe Format haben.

Bei der Transponierten werden Zeilen zu Spalten. Aus (1 2 3 | 4 5 6) wird (1 4 | 2 5 | 3 6). Das Format wechselt dabei von 2 × 3 zu 3 × 2.

Welche Fehler solltest du beim Matrix-Rechner vermeiden?

Der häufigste Fehler ist ein falsches Format. Eine Determinante und eine Inverse gibt es nur für quadratische Matrizen. Eine 2 × 3-Matrix ist nicht quadratisch, deshalb zeigt der Rechner dazu keine Determinante und keine Inverse an. Für Transponieren, Rang oder Matrixmultiplikation kann sie aber trotzdem sinnvoll sein.

Bei der Matrixmultiplikation müssen die inneren Formate passen. Ein Beispiel ist (2 × 3) · (3 × 2) = 2 × 2. Dann hat das Ergebnis so viele Zeilen wie die erste Matrix und so viele Spalten wie die zweite Matrix. Verwechsle außerdem A · B nicht mit B · A.

Bei der Eingabe sind Vorzeichen und Brüche wichtig. Schreibe negative Einträge klar mit Minuszeichen, etwa -1 oder -5. Brüche wie 1/2 bleiben exakt, wenn du die Ausgabe als Brüche wählst. Das ist bei inversen Matrizen oft übersichtlicher als Dezimalzahlen.

Wenn du einen Rechenweg prüfst, schau zuerst auf die Zwischenschritte: Wurde eine Zeile vertauscht? Wurde ein Vielfaches einer Zeile abgezogen? Bei Gauß-Verfahren und Gauß-Jordan entstehen viele kleine Vorzeichenfehler genau an solchen Stellen.