Kurvendiskussion

Was macht der Kurvendiskussion-Rechner?

Der Kurvendiskussion-Rechner untersucht eine eingegebene Funktion so, wie du es aus der Funktionsuntersuchung kennst: Er bildet Ableitungen, sucht Nullstellen, prüft Extrempunkte und Wendepunkte, beschreibt Monotonie und Krümmung und gibt Hinweise auf Symmetrie, Definitionsbereich und Verhalten im Unendlichen.

Du kannst zum Beispiel Polynome wie f(x) = x³ − 6x² + 9x, e-Funktionen wie f(x) = x·e^(−x), Logarithmen wie f(x) = ln(x) − x/2 oder gebrochenrationale Funktionen wie f(x) = (x² − 4)/(x − 1) untersuchen. Bei einfachen Funktionen werden die Ergebnisse symbolisch angegeben, etwa mit √2, ln(2) oder 1/e. Wenn sich eine Gleichung nicht sauber mit Standardverfahren lösen lässt, wird im gewählten Suchbereich numerisch gesucht.

Gib die Funktion ein und nutze den Suchbereich vor allem dann, wenn Nullstellen oder besondere Punkte numerisch gefunden werden sollen.

Wie funktioniert eine Kurvendiskussion mit Rechenweg?

Die Rechnung folgt einem festen Ablauf. Für Nullstellen wird f(x) = 0 gelöst. Für Extrempunkte suchst du Stellen mit f’(x₀) = 0 und prüfst die Art über f’‘(x₀): Ist f’‘(x₀) < 0, liegt ein Hochpunkt vor; ist f’‘(x₀) > 0, liegt ein Tiefpunkt vor. Wendepunkte entstehen an Stellen mit f’‘(x₀) = 0, wenn zusätzlich f’‘’(x₀) ≠ 0 gilt. Monotonie liest du am Vorzeichen von f’ ab, Krümmung am Vorzeichen von f’’.

Am Beispiel f(x) = x³ − 6x² + 9x sieht das so aus: Die Ableitungen sind f’(x) = 3x² − 12x + 9, f’‘(x) = 6x − 12 und f’‘’(x) = 6. Für die Nullstellen wird x³ − 6x² + 9x = x·(x² − 6x + 9) geschrieben. Daraus entstehen N₁(0 | 0) und N₂(3 | 0). Die Stelle x = 3 ist dabei ein 2-fach, Berührpunkt, der Graph berührt dort also die x-Achse.

Für die Extrempunkte wird f’(x) = 0 gelöst. Das ergibt x = 1 und x = 3. Die zweite Ableitung entscheidet die Art: f’‘(1) = −6 < 0 führt zu H(1 | 4), f’‘(3) = 6 > 0 führt zu T(3 | 0). Für den Wendepunkt wird f’‘(x) = 0 gelöst. Aus 6x − 12 = 0 folgt x = 2, und mit f’‘’(2) = 6 > 0 ergibt sich W(2 | 2).

Was bedeuten Monotonie und Krümmung in der Funktionsuntersuchung?

Die Monotonietabelle beschreibt, in welchen Bereichen der Graph steigt oder fällt. Bei f(x) = x³ − 6x² + 9x ist f’ positiv für x < 1 und x > 3. Deshalb ist die Funktion dort streng monoton steigend. Zwischen 1 < x < 3 ist f’ negativ, also fällt der Graph streng monoton.

Die Krümmung kommt aus der zweiten Ableitung. Bei derselben Funktion gilt: Für x < 2 ist f’’ < 0, der Graph ist rechtsgekrümmt, also konkav. Für x > 2 ist f’’ > 0, der Graph ist linksgekrümmt, also konvex. Der Wechsel passiert bei W(2 | 2).

Ein anderes Bild zeigt die Parabel f(x) = x² − 4x + 3. Sie hat T(2 | −1), keine Wendepunkte und ist für ganz ℝ linksgekrümmt. Das passt dazu, dass f’’(x) = 2 konstant positiv ist. Die Funktion fällt für x < 2 und steigt für x > 2.

Bei f(x) = x/(x² + 1) ist die Struktur stärker unterteilt: Die Funktion hat T(−1 | −1/2), H(1 | 1/2) sowie W₁(−√3 | −√3/4), W₂(0 | 0) und W₃(√3 | √3/4). Hier lohnt sich die Monotonie- und Krümmungstabelle besonders, weil du den Verlauf nicht direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kannst.

Warum fehlen manchmal Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte?

Wenn im Ergebnis keine Nullstelle, kein Extrempunkt oder kein Wendepunkt steht, ist das meist kein Fehler. Es bedeutet, dass die passende Gleichung keine zulässige Lösung hat oder dass eine Kandidatenstelle die Zusatzprüfung nicht besteht.

Bei f(x) = 1/(x − 1) gibt es keine Nullstellen, weil der Zähler nicht null wird. Außerdem gibt es keine Extrempunkte und keine Wendepunkte. Trotzdem ist die Funktion gut beschreibbar: Sie ist streng monoton fallend für x < 1 und x > 1. Dazu kommen die waagerechte Asymptote y = 0 und die senkrechte Asymptote x = 1.

Auch gebrochenrationale Funktionen können anders aussehen als Polynome. Bei f(x) = (x² − 4)/(x − 1) liegen N₁(−2 | 0) und N₂(2 | 0) vor, aber keine Extrempunkte und keine Wendepunkte. Der Definitionsbereich ist D = ℝ \ {1}; bei x = 1 liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Deshalb darfst du die Monotonie nicht über diese Stelle hinweg als ein zusammenhängendes Intervall lesen.

Bei e-Funktionen und ln-Funktionen können Gleichungen ebenfalls ohne geschlossene Formel bleiben. Für f(x) = e^x − 2x wird die Nullstellensuche numerisch im Bereich −2 ≤ x ≤ 4 beschrieben; in diesem Beispiel werden keine Nullstellen gefunden. Der Tiefpunkt liegt bei T(ln(2) | 2 − 2ln(2)), Wendepunkte gibt es nicht.

Typische Fehler beim Kurvendiskussion-Rechner vermeiden

Achte zuerst auf die Schreibweise der Funktion. Potenzen gibst du mit ^ ein, also x^3 statt x³, wenn du in ein Eingabefeld tippst. Produkte wie x*e^(-x) sind eindeutig. Bei Brüchen helfen Klammern: (x^2 - 4)/(x - 1) ist etwas anderes als ein Ausdruck ohne klare Klammerung.

Verwechsle außerdem Nullstellen nicht mit Extrempunkten. Bei f(x) = x³ − 6x² + 9x ist T(3 | 0) gleichzeitig ein Tiefpunkt und eine Nullstelle. Das ist ein Sonderfall, weil der Graph dort die x-Achse berührt. Bei f(x) = x² − 4x + 3 liegen die Nullstellen N₁(1 | 0) und N₂(3 | 0), der Tiefpunkt aber bei T(2 | −1).

Ein weiterer häufiger Fehler: f’(x) = 0 reicht für einen Extrempunkt nicht immer aus. Bei f(x) = x⁵ − 5x³ entsteht S(0 | 0). Dort liegt ein Sattelpunkt vor, kein Hochpunkt und kein Tiefpunkt, weil f’ das Vorzeichen nicht wechselt. Der Punkt ist zugleich W₂(0 | 0).

Bei gebrochenrationalen Funktionen musst du Definitionslücken ernst nehmen. Für f(x) = (x² − 4)/(x − 1) gehört x = 1 nicht zum Definitionsbereich. Auch wenn links und rechts derselben Stelle beide streng monoton steigende Bereiche stehen, darfst du daraus kein einziges durchgehendes Intervall machen.