Komplexe-Zahlen-Rechner

Was macht ein Komplexe-Zahlen-Rechner?

Ein Komplexe-Zahlen-Rechner verarbeitet Zahlen der Form a + bi. Dabei ist a der Realteil und b der Imaginärteil. Das i steht für die imaginäre Einheit mit der Regel i² = -1. Genau diese Regel sorgt dafür, dass beim Ausmultiplizieren wieder eine Zahl der Form a + bi entsteht.

Du kannst damit komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, in Polarform oder Exponentialform umschreiben, potenzieren oder n-te Wurzeln bestimmen. Wähle die Rechenart, gib Realteil und Imaginärteil oder Betrag und Winkel ein, und lies Ergebnis, Betrag, Argument und weitere Darstellungen ab.

Für viele Aufgaben ist die Schreibweise a + bi am direktesten. Wenn du dagegen mit Winkeln arbeitest, ist die Polarform oft übersichtlicher. Eine komplexe Zahl wird dann über ihren Betrag |z| und ihr Argument φ beschrieben. Das ist besonders praktisch bei Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln.

Wie rechnet man komplexe Zahlen in der Form a + bi?

Bei Addition und Subtraktion behandelst du Realteil und Imaginärteil getrennt. Aus (3 + 4i) + (1 - 2i) wird zum Beispiel 4 + 2i. Bei (5 - 2i) - (1 + 7i) ergibt sich 4 - 9i. Der häufigste Fehler ist hier ein Vorzeichenfehler beim Imaginärteil.

Bei der Multiplikation rechnest du wie mit Klammern und ersetzt anschließend i² durch -1. Als Beispiel:

(3 + 4i) · (1 - 2i)

Zuerst wird ausmultipliziert: 3·1 + 3·(-2)i + 4i·1 + 4·(-2)·i². Danach werden Realteil und Imaginärteil zusammengefasst. Das Ergebnis ist 11 - 2i. Der Realteil ist 11,000000, der Imaginärteil ist -2,000000.

Zur Kontrolle kann der Betrag helfen. Für das Ergebnis 11 - 2i beträgt |z| = 11,180340, exakt |z| = 5√5. Die zugehörige Polarform lautet 5√5 · (cos(-10,304846°) + i · sin(-10,304846°)), die Exponentialform 5√5·e^(i·(-0,179853)). Diese zusätzlichen Darstellungen zeigen, dass dieselbe komplexe Zahl je nach Aufgabe unterschiedlich geschrieben werden kann.

Wie dividiert man komplexe Zahlen?

Beim Dividieren willst du den Nenner reell machen. Dafür erweiterst du mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners. Die konjugiert komplexe Zahl erhältst du, indem du das Vorzeichen des Imaginärteils änderst. Zu 1 - 2i gehört also 1 + 2i.

Für (3 + 4i) : (1 - 2i) wird Zähler und Nenner mit 1 + 2i erweitert. Der Nenner wird reell: (1 - 2i) · (1 + 2i) = 5. Der Zähler wird -5 + 10i. Daraus folgt (-5 + 10i) / 5 = -1 + 2i. Der Betrag des Ergebnisses ist 2,236068, exakt √5.

Ein weiteres Beispiel zeigt, warum Brüche bei komplexen Zahlen normal sind: (7 + 5i) : (2 - 3i) ergibt -1/13 + 31/13·i. Als Dezimalzahl ist das -0,0769231 + 2,3846154i. Die Polarform dazu ist √962/13 · (cos(91,84761°) + i · sin(91,84761°)).

Achte beim Dividieren darauf, dass du wirklich mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweiterst, nicht mit der des Zählers. Außerdem muss der Nenner nach dem Erweitern reell sein. Wenn noch ein i im Nenner steht, ist beim Ausmultiplizieren oder beim Vorzeichen etwas schiefgelaufen.

Was bedeuten Betrag, Argument, Polarform und Exponentialform?

Der Betrag |z| ist der Abstand der komplexen Zahl vom Ursprung in der komplexen Ebene. Für z = a + bi wird er mit √(a² + b²) berechnet. Bei 3 + 4i ist der Betrag 5,000000. Das Argument φ ist der Winkel der Zahl zur positiven reellen Achse. Für 3 + 4i ist φ = 53,1301 °, im Bogenmaß 0,927295.

Aus Betrag und Argument entsteht die Polarform. Für 3 + 4i lautet sie 5 · (cos(53,130102°) + i · sin(53,130102°)). Die Exponentialform schreibt dieselbe Zahl kompakter als 5·e^(i·0,927295). Beide Formen meinen denselben Punkt in der komplexen Ebene.

Bei 1 + i ist der Betrag √2 und der Winkel 45,0000 °. Die Polarform ist √2 · (cos(45°) + i · sin(45°)), die Exponentialform √2·e^(i·π/4). Bei 1 - i bleibt der Betrag √2, aber der Winkel ist -45,0000 °. Die Exponentialform lautet √2·e^(i·(-π/4)).

Auch der Weg zurück ist möglich. Aus Betrag 2 und Winkel 30° wird √3 + i. Der Realteil ist 1,732051, der Imaginärteil ist 1,000000. Du siehst daran: Polarform und a + bi sind nur unterschiedliche Schreibweisen derselben komplexen Zahl.

Wann ist die Polarform bei komplexen Zahlen praktischer?

Die Polarform ist besonders nützlich, wenn du multiplizierst, dividierst, potenzierst oder Wurzeln berechnest. Bei der Multiplikation werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert. Aus r=2, φ=30° und r=3, φ=60° wird so das Ergebnis 6i mit Betrag 6,000000 und Winkel 90,0000 °.

Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert. Für r=8, φ=120° geteilt durch r=2, φ=30° ergibt sich 4i. Der Betrag ist 4,000000, der Winkel ist wieder 90,0000 °.

Bei Potenzen nutzt du den Satz von de Moivre. Für (2 + i)^3 ist das Ergebnis 2 + 11i. Der Betrag des Ergebnisses ist 11,180340, exakt 5√5, und das Argument ist 79,6952 °. Das ist oft übersichtlicher als mehrfaches Ausmultiplizieren.

Bei Wurzeln gibt es im Komplexen meist mehrere Lösungen. Die dritten Wurzeln aus -8 haben als Hauptwert 1 + √3·i; weitere Lösungen sind -2 und 1 - √3·i. Bei den vierten Wurzeln aus 16 ist der Hauptwert 2, insgesamt gibt es 4 Lösungen. Verwechsle also den Hauptwert nicht mit allen Lösungen.

Typische Fehler bei komplexen Zahlen vermeiden

Viele Fehler entstehen durch Vorzeichen und durch die Regel i² = -1. Beim Multiplizieren darf der Term mit i² nicht einfach als imaginärer Anteil stehen bleiben. Er gehört zum Realteil, weil i² durch -1 ersetzt wird. Genau dadurch wird aus (3 + 4i) · (1 - 2i) am Ende 11 - 2i.

Bei Addition und Subtraktion solltest du Realteil und Imaginärteil getrennt behandeln. (5 + 3i) - (2 + 7i) ergibt 3 - 4i. Wenn du die Klammer nach dem Minus nicht beachtest, ändert sich der Imaginärteil falsch.

Beim Argument reicht ein gewöhnlicher Tangens-Wert allein oft nicht aus, weil der Quadrant stimmen muss. Darum wird für das Argument atan2(b, a) verwendet. Beispiele zeigen den Unterschied: 3 + 4i hat den Winkel 53,1301 °, -3 + 4i dagegen 126,8699 °. Beide haben den Betrag 5, liegen aber in verschiedenen Bereichen der komplexen Ebene.

Bei Wurzeln solltest du nicht nur nach einer reellen Lösung suchen. √(-9) hat die Lösungen 3i und -3i. Für n-te Wurzeln verteilen sich die Lösungen in der Polarform über passende Winkel. Darum liefert eine Wurzelaufgabe im Komplexen oft mehr als einen Wert.