Fakultät-Rechner

Was bedeutet Fakultät n!?

Wenn du Fakultät berechnen willst, multiplizierst du eine ganze Zahl mit allen kleineren natürlichen Zahlen bis hinunter zu 1. Das Ausrufezeichen gehört zur Schreibweise: n! liest du als “n Fakultät”. Typische Beispiele sind 5! und 10!, also Produkte, bei denen jeder Faktor genau einmal vorkommt.

Die Definition ist rekursiv gedacht: n! ist n mal die Fakultät der vorherigen Zahl. Dadurch passt auch der Sonderfall 0!: Er ist per Festlegung 1. Das wirkt beim ersten Lesen ungewöhnlich, ist aber praktisch, weil die Rekursion dann sauber funktioniert. Außerdem entspricht 0! dem sogenannten leeren Produkt.

Im Rechner wählst du die Rechenart, gibst n oder x ein und erhältst je nach Auswahl den exakten Wert, die Stellenzahl, Endnullen oder die passende Näherung.

Wichtig ist die Einschränkung der normalen Fakultät: n! meint üblicherweise nichtnegative ganze Zahlen. Für Kommazahlen wird die Gammafunktion verwendet. Für Doppelfakultät und Subfakultät gelten eigene Regeln, obwohl die Schreibweise ähnlich aussieht.

Wie kannst du Fakultät berechnen?

Die Rechnung lautet in Worten: Starte bei n, multipliziere mit der nächstkleineren Zahl und fahre fort, bis du bei 1 angekommen bist. Für 10! sieht das vollständig ausgeschrieben so aus:

10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 3.628.800

Dazu passt die rekursive Schreibweise: 10! = 10 · 9! = 10 · 362.880. Du musst also nicht jedes Mal von vorne anfangen, wenn du den vorherigen Fakultätswert kennst.

Der Wert von 10! hat 7 Stellen. In wissenschaftlicher Schreibweise ist das 3,6288 · 10⁶. Der Rechner zeigt außerdem die Endnullen: Bei 10! sind es 2. Sie entstehen durch Faktoren, die zusammen eine 10 bilden. In der Rechnung wird das über die Faktoren 5 gezählt, weil passende Faktoren 2 bei Fakultäten genug vorhanden sind.

Für große n wird die exakte Zahl schnell unhandlich. Dann hilft die wissenschaftliche Schreibweise beim Lesen. Zusätzlich kann die Stirling-Näherung als Orientierung dienen. Für 10! lautet sie ≈ 3,5987 · 10⁶ mit Abweichung −0,83 %. Das ist nützlich, wenn du die Größenordnung prüfen willst, ersetzt aber nicht den exakten Wert, wenn dieser gefragt ist.

Fakultät Tabelle: So schnell wachsen n! Werte

Fakultäten wachsen sehr schnell, weil bei jedem Schritt ein weiterer Faktor hinzukommt. Schon kleine Änderungen bei n machen daher einen großen Unterschied. Ein paar Vergleichswerte zeigen das besser als eine lange Erklärung:

n!	Wert oder Schreibweise	Stellen	Endnullen
0!	1	1	0
5!	120	3	1
10!	3.628.800	7	2
20!	2.432.902.008.176.640.000	19	4
100!	≈ 9,3326 · 10¹⁵⁷	158	24
1000!	≈ 4,0239 · 10²⁵⁶⁷	2.568	249
10000!	≈ 2,8463 · 10³⁵⁶⁵⁹	35.660	2.499

Für Schulaufgaben oder Kombinatorik reichen oft kleine Werte aus der Fakultät Tabelle. Bei größeren Eingaben geht es meist nicht mehr darum, die ganze Zahl auszuschreiben, sondern Stellenzahl, Größenordnung oder Endnullen zu verstehen.

Ein typischer Bezug ist die Anzahl von Anordnungen. Wenn du etwa 10 verschiedene Dinge in eine Reihenfolge bringen willst, entstehen 10! Möglichkeiten. Bei 20 Dingen ist die Zahl schon so groß, dass die ausgeschriebene Schreibweise kaum noch übersichtlich ist. Für 100! wird die wissenschaftliche Schreibweise praktisch unverzichtbar, obwohl der exakte Wert aus allen Ziffern besteht.

Fakultät kürzen: Warum n! ÷ k! oft viel einfacher ist

Bei Brüchen mit Fakultäten solltest du zuerst kürzen und erst danach rechnen. Der Grund: Ein großer gemeinsamer Teil kommt oben und unten identisch vor.

Beispiel: 10! ÷ 5! wird nicht als zwei große Fakultäten berechnet. Du schreibst 10! als 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!. Das 5! steht dann oben und unten und fällt weg. Übrig bleibt:

10! ÷ 5! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 30.240

Noch deutlicher wird es bei 20! ÷ 18!. Statt 20! vollständig auszurechnen, bleiben nur 20 · 19. Das Ergebnis ist 380. Auch 10! ÷ 8! zeigt das Prinzip: Es bleiben 10 · 9, also 90.

Der häufigste Fehler ist, beide Fakultäten getrennt auszurechnen und erst am Ende zu teilen. Das funktioniert zwar bei kleinen Zahlen, ist aber unnötig lang und bei großen Zahlen sehr fehleranfällig. Beim Kürzen zählt nur, welche Faktoren nach dem gemeinsamen k! übrig bleiben.

Doppelfakultät, Subfakultät und Fakultät von Kommazahlen

Die Doppelfakultät n!! ist nicht dasselbe wie eine Fakultät mit doppeltem Ausrufezeichen im Sinn von “noch einmal Fakultät”. Bei n!! wird nur jede zweite Zahl multipliziert. Für 9!! heißt das: 9 · 7 · 5 · 3 · 1 = 945. Bei geraden Zahlen läuft das entsprechend über gerade Faktoren.

Die Subfakultät !n zählt fixpunktfreie Anordnungen. Das passt zum Wichteln: Niemand soll den eigenen Namen ziehen. Für !6 ergibt sich 265. Für !8 ergibt sich 14.833, das sind 36,7882 % aller 8! Anordnungen. Die Rekursion lautet in Worten: Der Wert für n hängt von den beiden vorherigen Subfakultäten ab.

Für Kommazahlen wird nicht die normale Produktdefinition verwendet, weil es zwischen 1 und x keine endliche Folge natürlicher Faktoren gibt. Stattdessen nutzt man x! = Γ(x + 1). So ist 0,5! = √π/2 ≈ 0,886226926. Auch 3,5! lässt sich über halbe Zahlen exakt ausdrücken: 105√π/16 ≈ 11,6317284. Für 10,5! ergibt sich 13749310575√π/2048 ≈ 11.899.423,08.

Bei negativen Kommazahlen kann die Gammafunktion ebenfalls Werte liefern, zum Beispiel -0,5! = √π ≈ 1,772453851 und -1,5! = −2√π ≈ −3,544907702. Bei negativen ganzen Zahlen wie -1 oder -2 ist diese Erweiterung nicht definiert.

Typische Fehler beim Fakultät berechnen

Achte vor allem auf die Schreibweise. Ein einzelnes Ausrufezeichen, ein doppeltes Ausrufezeichen und ein Ausrufezeichen vor der Zahl bedeuten verschiedene Dinge:

• n! ist die normale Fakultät.
• n!! ist die Doppelfakultät und nimmt nur jede zweite Zahl.
• !n ist die Subfakultät und zählt Anordnungen ohne festen Platz.

Ein weiterer Klassiker ist 0!. Der Wert ist 1, nicht 0. Das liegt nicht an einer Multiplikation mit 0, sondern an der Definition als leeres Produkt.

Verwechsle außerdem eine Näherung nicht mit dem exakten Ergebnis. Bei 100! ist ≈ 9,3326 · 10¹⁵⁷ eine kompakte Schreibweise, der vollständige Wert hat aber 158 Stellen. Die Stirling-Näherung ist praktisch zur Kontrolle der Größenordnung, bleibt aber eine Näherung.

Bei Endnullen geht es nicht darum, wie oft eine 0 irgendwo in der Zahl vorkommt. Gemeint sind nur die Nullen ganz am Ende. Für 100! sind das 24. Für 1000! sind es 249. Diese Information ist besonders nützlich, wenn du große Fakultäten vergleichen oder Ergebnisse auf Plausibilität prüfen willst.