Wahrscheinlichkeitsrechner

Was kann der Wahrscheinlichkeitsrechner abbilden?

Der Wahrscheinlichkeitsrechner hilft dir bei typischen Aufgaben aus Schule, Studium und Alltag: Laplace-Wahrscheinlichkeit, Gegenwahrscheinlichkeit, Und-Verknüpfung, Oder-Verknüpfung, bedingte Wahrscheinlichkeit mit Bayes und die Frage, wie wahrscheinlich ein Ereignis mindestens einmal eintritt. Wähle den passenden Fall aus und gib die bekannten Wahrscheinlichkeiten oder Fallzahlen ein.

Der Unterschied zwischen den Fällen ist wichtiger als die Formel selbst. Bei Laplace zählst du Ergebnisse. Beim Gegenereignis rechnest du über das, was nicht passiert. Bei “A und B” geht es darum, dass beide Ereignisse eintreten. Bei “A oder B” reicht mindestens eines der beiden Ereignisse. Bei Bayes drehst du eine bedingte Wahrscheinlichkeit um: Du kennst zum Beispiel, wie häufig ein Test bei vorhandener Eigenschaft anschlägt, und willst wissen, wie wahrscheinlich die Eigenschaft nach einem positiven Ergebnis wirklich ist.

Der Rechner zeigt neben der Wahrscheinlichkeit auch Bruch, Dezimalzahl, Chance, Gegenwahrscheinlichkeit und eine kurze Einordnung wie “unwahrscheinlich (0-33 %)” oder “etwa so wahrscheinlich wie nicht (33-66 %)”. Diese Einordnung ersetzt keine Fachbewertung, hilft aber, ein Ergebnis wie 22,2222 % oder 63,2258 % schneller einzuordnen.

Wie berechnet man die Laplace-Wahrscheinlichkeit?

Laplace passt, wenn alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Die Rechnung lautet in Worten: Teile die günstigen Ergebnisse durch alle möglichen Ergebnisse. Günstig heißt: Das Ergebnis erfüllt deine Bedingung. Möglich heißt: Es kann grundsätzlich auftreten.

Beispiel Würfel: Du willst eine gerade Zahl würfeln. Günstig sind 3 Ergebnisse, möglich sind 6 Ergebnisse. Der Rechenweg lautet:

P(A) = günstige ÷ mögliche = 3 ÷ 6 = 1/2 = 0,5 = 50 %

Die Gegenwahrscheinlichkeit ist hier ebenfalls 50 %. Als Chance entspricht das 1 von 2. Wichtig ist: Die günstigen Ergebnisse müssen Teil der möglichen Ergebnisse sein. Wenn du beim Würfeln nach einer geraden Zahl fragst, zählen 2, 4 und 6 als günstige Ergebnisse. Die möglichen Ergebnisse bleiben die Augenzahlen des Würfels.

Ein anderes Beispiel zeigt denselben Gedanken: Bei 2 günstigen von 8 möglichen Fällen ergibt sich 25 %, also 1/4. Auch bei 3 günstigen von 12 möglichen Ergebnissen kommt 25 % heraus. Die Fallzahlen sind verschieden, das Verhältnis ist gleich. Genau deshalb zeigt der Rechner zusätzlich Bruch und Dezimalzahl an.

Wann ist das Gegenereignis der einfachere Weg?

Das Gegenereignis ist oft der schnellere Weg, wenn “mindestens einmal” gefragt ist. Statt alle Wege zu zählen, bei denen ein Treffer vorkommt, rechnest du zuerst aus, dass kein Treffer vorkommt, und ziehst das Ergebnis von 100 % ab.

Bei mindestens einer 6 in 4 Würfen nutzt du die Wahrscheinlichkeit für eine 6 bei einem Versuch: 16,6667 %. Der Rechner nutzt dann:

P(mindestens einmal) = 1 - (1 - p)^n = 1 - (1 - 0,1667)^4 = 1 - 0,4823 = 51,7748 %

Die Gegenwahrscheinlichkeit, also kein einziges Mal, beträgt 48,2252 %. Deshalb ist mindestens eine 6 in 4 Würfen etwas wahrscheinlicher als kein Treffer, aber immer noch in der Einordnung “etwa so wahrscheinlich wie nicht (33-66 %)”.

Der Unterschied zwischen “mindestens einmal” und “jedes Mal” ist ein häufiger Denkfehler. Im selben Beispiel liegt “jedes Mal” bei 0,07716 %. Das ist eine ganz andere Frage. Für Planungen kann auch die nötige Anzahl an Versuchen interessant sein: Für 90 % braucht es in diesem Beispiel mindestens 13 Versuche.

Bei p = 10 % und 20 Versuchen liegt die Wahrscheinlichkeit für mindestens einmal Treffer bei 87,8423 %. Für 90 % nennt der Rechner mindestens 22 Versuche. Bei p = 25 % und 4 Versuchen sind es 68,3594 %, mit mindestens 9 Versuchen für 90 %.

Wie unterscheiden sich A und B von A oder B?

Bei “A und B” müssen beide Ereignisse eintreten. Wenn A und B unabhängig sind, multiplizierst du die Einzelwahrscheinlichkeiten. Beispiel: P(A) = 40 % und P(B) = 25 %. Dann ist P(A und B) = 10 %. Die Gegenwahrscheinlichkeit beträgt 90 %, die Chance ist 1 von 10.

Wenn die Ereignisse abhängig sind, brauchst du statt P(B) die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A). Das bedeutet: Wie wahrscheinlich ist B, wenn A bereits eingetreten ist? Beispiel: P(A) = 60 % und P(B|A) = 30 %. Dann ergibt sich P(A und B) = 18 %. Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist diese Denkweise typisch, weil sich die Ausgangslage nach dem ersten Zug ändert. Im Kugelbeispiel mit P(A) = 50 % und P(B|A) = 44,4444 % ergibt sich 22,2222 %.

Bei “A oder B” reicht es, wenn A eintritt, B eintritt oder beide eintreten. Darum darfst du die Schnittmenge nicht doppelt zählen. Bei unabhängigen Ereignissen mit P(A) = 20 % und P(B) = 50 % ist P(A ∩ B) = 10 %, und P(A oder B) ergibt 60 %. Wenn A und B unvereinbar sind, können sie nicht gleichzeitig eintreten. Dann ist P(A ∩ B) = 0 %. Bei P(A) = 15 % und P(B) = 35 % ergibt sich 50 %.

Falls P(A ∩ B) schon bekannt ist, gibst du diese Schnittmenge direkt an. Bei P(A) = 40 %, P(B) = 30 % und P(A ∩ B) = 10 % ist P(A oder B) = 60 %.

Wie funktioniert Bayes mit Vierfeldertafel?

Bayes hilft, wenn du aus einem beobachteten Merkmal auf eine Ursache oder Eigenschaft schließen willst. Typisch ist ein Test: Du kennst den Anteil mit Merkmal A, die Trefferquote P(B|A) und die Falsch-positiv-Rate P(B|Ā). Gesucht ist dann P(A|B): Wie wahrscheinlich ist A, wenn B beobachtet wurde?

Im Beispiel mit 1 % Anteil mit Merkmal A, 99 % P(B|A) und 5 % P(B|Ā) ergibt der Rechner 16,6667 %. Das wirkt zunächst niedrig, ist aber durch die vielen Fälle ohne A erklärbar. In natürlichen Häufigkeiten: Von 10.000 Fällen haben 100 die Eigenschaft A; davon zeigen 99 das Merkmal B. Von den 9.900 übrigen zeigen 495 ebenfalls B. Also gehören von 594 Fällen mit B nur 99 zu A = 16,6667 %.

Bei 5 % Vorerkrankung, 98 % Sensitivität und 3 % Falsch-Positiv-Rate ergibt sich 63,2258 %. Die totale Wahrscheinlichkeit P(B) liegt dabei bei 7,75 %, P(A ∩ B) bei 4,9 %. Das zeigt, wie stark der Ausgangsanteil die Aussage nach einem positiven Ergebnis beeinflusst.

Typische Fehler vermeidest du so:

• Verwechsle P(B|A) nicht mit P(A|B). Das sind unterschiedliche Fragen.
• Prüfe, ob Ereignisse unabhängig, abhängig oder unvereinbar sind.
• Bei “oder” die Überschneidung abziehen, wenn sie möglich ist.
• Bei “mindestens einmal” nicht mit “jedes Mal” verwechseln.
• Prozentwerte nicht doppelt umwandeln. 30 % entspricht als Dezimalzahl 0,3, nicht 30.