Standardabweichung

Was zeigt der Standardabweichung Rechner an?

Der Rechner zeigt dir, wie stark deine Werte um ihren Mittelwert streuen. Eine kleine Standardabweichung bedeutet: Die Werte liegen eng beieinander. Eine große Standardabweichung bedeutet: Die Werte sind weiter verteilt.

Du gibst deine Messwerte ein und wählst, ob sie eine Stichprobe oder die komplette Grundgesamtheit darstellen.

Neben der Standardabweichung bekommst du weitere Kennzahlen, die bei der Einordnung helfen: Varianz, Mittelwert, Anzahl n, Summe der Abweichungsquadrate, Variationskoeffizient, Standardfehler des Mittelwerts und mittlere absolute Abweichung. Bei den Werten 2, 4, 6, 8, 10 ergibt sich als Stichprobe zum Beispiel eine Standardabweichung von 3,1623 bei einem Mittelwert von 6.

Wichtig ist die Einheit: Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie deine Ausgangswerte. Wenn du Temperaturen in Grad eingibst, ist auch die Standardabweichung in Grad. Die Varianz dagegen steht in quadrierten Einheiten und ist deshalb oft schwerer direkt zu interpretieren.

Wie funktioniert die Standardabweichung Formel?

Die Rechnung läuft in mehreren Schritten. Zuerst wird der Mittelwert gebildet. Dann wird für jeden Wert berechnet, wie weit er vom Mittelwert entfernt ist. Diese Abweichungen werden quadriert und addiert. Daraus entsteht die Summe der Abweichungsquadrate. Für eine Stichprobe wird diese Summe durch n - 1 geteilt, für eine Grundgesamtheit durch n. Aus diesem Ergebnis wird die Wurzel gezogen.

Beispiel als Stichprobe mit den Werten 2, 4, 6, 8, 10:

• Mittelwert: 6
• Abweichungsquadrate: 16, 4, 0, 4, 16
• Summe der Abweichungsquadrate: 40
• Varianz: 10
• Standardabweichung: 3,1623

In Worten: Du misst die Abstände zum Mittelwert, machst alle Abstände durch Quadrieren positiv, mittelt sie passend zur Datenart und ziehst dann die Wurzel. Das Quadrieren sorgt dafür, dass größere Abweichungen stärker ins Gewicht fallen. Deshalb reagiert die Standardabweichung deutlich auf Ausreißer.

Bei denselben Werten als Grundgesamtheit ist die Standardabweichung 2,8284 und die Varianz 8. Der Unterschied entsteht nur durch den Teiler: Stichprobe nutzt n - 1, Grundgesamtheit nutzt n.

Stichprobe Standardabweichung oder Grundgesamtheit wählen?

Wähle Stichprobe, wenn deine Werte nur ein Ausschnitt aus einer größeren Menge sind. Das ist in vielen Auswertungen der Normalfall: einzelne Messungen aus einer laufenden Produktion, ausgewählte Umfragewerte oder einige Renditen aus einer längeren Zeitreihe. Dann wird mit n - 1 gerechnet.

Wähle Grundgesamtheit, wenn du wirklich alle Werte der betrachteten Gruppe hast. Ein typisches Beispiel sind alle Noten einer Klasse. Für die Noten 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 2, 3 als Grundgesamtheit ergibt sich ein Mittelwert von 2,9167 und eine Standardabweichung von 1,0375. Die Stichproben-Variante dazu wäre 1,0836.

Gerade bei wenigen Werten ist die Wahl sichtbar. Bei 2, 4, 6, 8, 10 liefert die Stichprobe 3,1623, die Grundgesamtheit 2,8284. Bei größerer Anzahl wird der Unterschied kleiner. In der Vergleichstabelle steht zum Beispiel bei n = 5 ein Unterschied von 11,8 %, bei n = 100 nur noch 0,5 %.

Wenn du unsicher bist, ist Stichprobe meist die vorsichtigere Wahl, weil sie die Streuung etwas höher schätzt.

Wie interpretierst du eine hohe oder niedrige Standardabweichung?

Eine Standardabweichung ist nur im Verhältnis zum Mittelwert und zum Thema sinnvoll einzuordnen. Dieselbe Streuung kann einmal gering und einmal deutlich wirken.

Beispiel: Bei 100, 102, 98, 101, 99 liegt der Mittelwert bei 100, die Standardabweichung als Stichprobe bei 1,5811 und der Variationskoeffizient bei 1,58 %. Das wirkt eng, weil die Streuung klein im Verhältnis zum Mittelwert ist. Bei 1, 2, 3, 4, 5 ist die Standardabweichung ebenfalls 1,5811, der Mittelwert aber 3 und der Variationskoeffizient 52,7 %. Relativ gesehen streuen diese Werte also viel stärker.

Der Variationskoeffizient hilft besonders, wenn du Reihen mit unterschiedlichen Größenordnungen vergleichst. Bei 1000, 1010, 990, 995, 1005 liegt der Mittelwert bei 1.000, die Standardabweichung bei 7,9057 und der Variationskoeffizient bei 0,79 %. Obwohl die Standardabweichung größer aussieht als 1,5811, ist die relative Streuung klein.

Bei identischen Werten gibt es keine Streuung: Für 10, 10, 10, 10 sind Standardabweichung, Varianz, Standardfehler und mittlere absolute Abweichung jeweils 0.

Sigma-Bereiche und typische Fehler beim Standardabweichung berechnen

Die Sigma-Bereiche zeigen, welcher Bereich um den Mittelwert entsteht, wenn du eine Standardabweichung, mehrere Standardabweichungen oder entsprechende Normalverteilungsbereiche betrachtest. Bei normalverteilten Daten liegen ungefähr 68,27 % im Bereich μ ± 1σ, 95,45 % im Bereich μ ± 2σ und 99,73 % im Bereich μ ± 3σ. Das ist eine Modellannahme, keine Garantie für jede Messreihe.

Bei den Werten 12,1, 11,8, 12,4, 12,0, 12,3, 11,9 liegen im Bereich x̄ ± 1s von 11,8517 bis 12,315 tatsächlich 66,67 % der Daten. Der Normalwert dazu ist 68,27 %. Das passt recht nah, muss aber bei anderen Daten nicht so sein.

Typische Fehler vermeidest du so:

• Prüfe, ob Stichprobe oder Grundgesamtheit gemeint ist. Sonst unterscheiden sich Ergebnisse wie 3,1623 und 2,8284 ohne Rechenfehler.
• Mische Dezimalkomma und Trennzeichen nicht unklar. Werte wie 3,5; 4,0; 4,5; 5,0 sind Dezimalwerte, keine zwei getrennten Zahlen.
• Interpretiere die Varianz nicht wie die Standardabweichung. Bei 50, 51, 49, 52, 48 ist die Varianz 2,5, die Standardabweichung aber 1,5811.
• Prüfe Ausreißer getrennt. Bei Renditen wie 8,2, -3,5, 12,1, 5,0, -7,8, 15,3, 4,4 ist die Standardabweichung 8,195 und der Variationskoeffizient 170,22 %. Einzelne starke Ausschläge prägen die Streuung deutlich.
• Vergleiche Reihen mit unterschiedlichen Mittelwerten eher über den Variationskoeffizienten als nur über die Standardabweichung.