Interpolation-Rechner

Was macht ein Interpolieren-Rechner?

Ein Interpolieren-Rechner schätzt einen Wert zwischen bekannten Messpunkten. Du gibst bekannte Punkte oder eine Wertetabelle ein und bekommst den passenden Zwischenwert, die verwendete Gerade und den Rechenweg.

Der typische Fall ist die lineare Interpolation: Zwischen zwei Punkten wird angenommen, dass sich der Wert gleichmäßig entlang einer Geraden verändert. Das passt gut, wenn die Beziehung im betrachteten Bereich nahezu gerade verläuft oder wenn du nur einen Tabellenwert zwischen zwei Einträgen ablesen willst.

Der Rechner kann außerdem umgekehrt rechnen: Du kennst einen y-Wert und suchst den dazugehörigen x-Wert. Das ist nützlich, wenn du zum Beispiel eine Skala abliest oder aus einer Tabelle zurück auf die Ausgangsgröße schließen willst. Zusätzlich gibt es Verfahren für Wertetabellen, Polynome durch alle Punkte und die doppelte Interpolation in einem Rechteck.

Wie funktioniert die lineare Interpolation?

Die lineare Interpolation arbeitet mit der Steigung zwischen zwei bekannten Punkten. In Worten lautet die Formel: Starte bei y₁, gehe von x₁ bis zum gesuchten x und multipliziere diese Strecke mit der Steigung zwischen den beiden Punkten. Als Formel:

y = y₁ + (x - x₁) · (y₂ - y₁) ÷ (x₂ - x₁)

Beispiel: Zwischen den Punkten (2 | 10) und (8 | 40) soll der Wert bei x = 5 gefunden werden. Zuerst wird die Steigung berechnet:

m = (40 - 10) ÷ (8 - 2) = 30 ÷ 6 = 5

Dann setzt du die gesuchte Stelle ein:

y = 10 + (5 - 2) · 5 = 10 + 3 · 5 = 25

Der Rechner zeigt dazu auch die Geradengleichung y = 5x, den Achsenabschnitt 0 und den Anteil der Strecke. In diesem Beispiel liegt x = 5 genau zwischen x = 2 und x = 8, deshalb beträgt der Anteil 50 %. Das Ergebnis ist eine Interpolation, weil die gesuchte Stelle innerhalb des bekannten Bereichs liegt.

Wie liest man Tabellenwerte mit linearer Interpolation ab?

Bei einer Wertetabelle sucht der Rechner zuerst die beiden Nachbarpunkte, zwischen denen dein gesuchtes x liegt. Danach wird nur in diesem Abschnitt linear gerechnet. Die Reihenfolge der Zeilen darf egal sein, entscheidend sind die passenden Nachbarwerte.

Ein Beispiel: In einer Tabelle stehen die Punkte (100 | 2,5), (200 | 3,7) und (300 | 4,6). Für x = 150 verwendet die Rechnung den Abschnitt zwischen (100 | 2,5) und (200 | 3,7). Die Steigung ist 0,012, damit ergibt sich y = 3,1.

Ein anderes Tabellenbeispiel zeigt, warum der verwendete Abschnitt zählt. Bei der Tabelle mit den Punkten (0 | 0), (10 | 15), (20 | 40), (30 | 50) und (40 | 55) ergibt x = 18 den Wert 35. Dafür wird der Abschnitt zwischen (10 | 15) und (20 | 40) genutzt. Bei x = 25 wird dagegen zwischen (20 | 40) und (30 | 50) gerechnet, das Ergebnis ist 45.

Für Tabellenwerte heißt das: Du solltest nicht über die ganze Tabelle eine einzige Gerade legen, wenn sich die Steigung von Abschnitt zu Abschnitt ändert. Stückweise linear bedeutet genau das: Jeder Zwischenwert wird mit den beiden direkt benachbarten Tabellenpunkten berechnet.

Wann ist Interpolation keine Extrapolation?

Interpolation bedeutet: Die gesuchte Stelle liegt innerhalb des bekannten Bereichs. Extrapolation bedeutet: Du rechnest über den bekannten Bereich hinaus. Die Formel kann beides, aber die Aussagekraft ist unterschiedlich.

Zwischen (0 | 0) und (10 | 20) ergibt x = 12 den Wert 24. Der Rechner kennzeichnet das als Extrapolation, weil x = 12 außerhalb von 0 bis 10 liegt. Der Anteil der Strecke ist 120 %. Mathematisch ist die Rechnung klar, fachlich musst du aber prüfen, ob der lineare Trend außerhalb des bekannten Bereichs noch sinnvoll ist.

Das gilt auch bei der Rückrechnung. Zwischen (50 | 100) und (100 | 200) führt y = 75 zu x = 37,5. Das ist ebenfalls Extrapolation, weil der berechnete x-Wert außerhalb von 50 bis 100 liegt. Eine lineare Fortsetzung kann passen, wenn der Zusammenhang wirklich linear bleibt. Bei Messwerten, Materialkurven oder Tabellen aus der Praxis ist das aber nicht automatisch so.

Die Zwischenwerttabelle im Ergebnis hilft dir bei der Einordnung: Werte mit Anteilen zwischen 0 und 100 liegen innerhalb der Strecke. Anteile unter 0 oder über 100 zeigen, dass du den bekannten Bereich verlassen hast.

Wann nutzt du Polynominterpolation oder bilineare Interpolation?

Polynominterpolation verwendet alle angegebenen Punkte und legt ein Polynom durch diese Punkte. Das kann sinnvoll sein, wenn die Werte nicht abschnittsweise gerade verlaufen sollen. Es kann aber stärker schwanken als eine einfache lineare Verbindung, besonders außerhalb des bekannten Bereichs.

Ein Beispiel mit den Punkten (0 | 1), (1 | 2), (2 | 5) und (4 | 17) ergibt das Polynom p(x) = x² + 1. Bei x = 2,5 ist das Ergebnis p(2,5) = 7,25. Bei einer anderen Tabelle mit den Punkten (0 | 0), (10 | 15), (20 | 40), (30 | 50) und (40 | 55) liefert die Polynominterpolation bei x = 25 den Wert p(25) = 47,0703125. Die stückweise lineare Rechnung mit denselben Nachbarpunkten ergibt bei x = 25 dagegen 45. Beide Verfahren beantworten also unterschiedliche Modellannahmen.

Bilineare Interpolation brauchst du, wenn ein Wert von zwei Richtungen abhängt, etwa in einem Rechteck mit vier Eckwerten. Die Rechnung interpoliert zuerst in x-Richtung und danach in y-Richtung. In einem Feld mit den Eckwerten 10, 20, 30 und 40 ergibt der Punkt (5; 5) den Wert 25. In einem anderen Rechteck mit den Eckwerten 0, 10, 20 und 30 ergibt der Punkt (2; 8) den Wert 18.

Welche Fehler solltest du beim Interpolieren vermeiden?

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von x und y. Prüfe vor der Rechnung, welche Größe du vorgibst und welche gesucht ist. Wenn du x zu einem y-Wert suchst, brauchst du die umgestellte Formel:

x = x₁ + (y - y₁) · (x₂ - x₁) ÷ (y₂ - y₁)

Ein Beispiel: Zwischen (0 | 0) und (10 | 50) gehört zu y = 25 der Wert x = 5. Hier wird nicht ein neuer y-Wert gesucht, sondern die Position auf der x-Achse.

Achte außerdem auf gleiche x-Werte. Wenn x₁ und x₂ gleich sind, lässt sich die Steigung nicht berechnen, weil durch (x₂ - x₁) geteilt würde. In einer Wertetabelle sollten die x-Werte deshalb eindeutig sein, wenn du einen Zwischenwert entlang der x-Achse suchst.

Weitere typische Stolperstellen:

• Dezimalkomma sauber eingeben, zum Beispiel 7,5 statt eine missverständliche Schreibweise.
• Bei Tabellen nur Werte aus demselben Zusammenhang mischen.
• Einheiten nicht vermengen, etwa Celsius-Werte und Fahrenheit-Werte ohne klare Achsenbezeichnung.
• Extrapolation nicht wie eine sichere Messung behandeln.
• Bei Polynominterpolation prüfen, ob das Ergebnis fachlich plausibel bleibt.