Goldener-Schnitt-Rechner

Was berechnet der goldener schnitt rechner?

Der goldener schnitt rechner teilt eine Strecke in einen langen Teil a und einen kurzen Teil b. Das Verhältnis bleibt dabei gleich: Ganze Strecke zu langem Teil verhält sich wie langer Teil zu kurzem Teil. Die Verhältniszahl heißt Phi, geschrieben φ.

Du kannst mit einer bekannten Gesamtlänge starten oder von einem bereits bekannten Teil zurückrechnen. Das ist praktisch, wenn du zum Beispiel eine Strecke, ein Layout, ein Bildformat oder ein goldenes Rechteck planen willst. Wähle aus, ob die Gesamtlänge s, der lange Teil a oder der kurze Teil b bekannt ist, gib die Länge und die Einheit ein.

Die Einheit ändert nur die Beschriftung des Ergebnisses. Die Rechnung selbst funktioniert gleich für Zentimeter, Millimeter, Meter, Pixel oder ohne Einheit. Wenn du also eine Webseite planst, rechnest du mit Pixeln. Wenn du einen Rahmen oder ein Möbelmaß skizzierst, nimmst du eher Zentimeter oder Millimeter.

Goldener Schnitt Formel: So wird die Strecke geteilt

Die Goldener Schnitt Formel arbeitet mit der Zahl φ. Sie wird so definiert: φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,618034. Für eine bekannte Gesamtlänge s gilt in Worten: Der lange Teil a entsteht, indem du die Gesamtlänge durch φ teilst. Der kurze Teil b ist der Rest der Strecke. Alternativ gilt b = s ÷ φ².

Beispiel mit einer Gesamtlänge von 100 cm:

• φ = (1 + √5) ÷ 2 = 1,618034
• a = s ÷ φ = 100 ÷ 1,618034 = 61,803 cm
• b = s − a = 100 − 61,803 = 38,197 cm

Die Kontrolle zeigt, ob die Teilung wirklich im Goldenen Schnitt liegt: s ÷ a = 1,618034 und a ÷ b = 1,618034. Beide Quotienten stimmen mit φ überein. Der lange Teil hat einen Anteil von 61,803 %, der kurze Teil von 38,197 %.

Wenn du nicht mit der Gesamtlänge startest, kehrt sich die Richtung der Rechnung um. Ist der lange Teil a bekannt, kannst du den kurzen Teil und die Gesamtlänge bestimmen. Bei a = 50 cm ergibt sich b = 30,902 cm und s = 80,902 cm. Ist dagegen der kurze Teil b bekannt, wird daraus zuerst der lange Teil. Bei b = 50 cm ergibt sich a = 80,902 cm und s = 130,9 cm.

Goldener Schnitt in Pixeln, Layouts und goldenes Rechteck

In Layouts wird der Goldene Schnitt oft genutzt, um Flächen aufzuteilen: zum Beispiel Hauptinhalt und Seitenleiste, Bild und Textblock oder Breite und Höhe eines goldenen Rechtecks. Bei einer Breite von 1.200 px ergibt die exakte Rechnung 741,64 px für den größeren Bereich und 458,36 px für den kleineren Bereich. Als goldenes Rechteck entspricht das 1.200 px × 741,64 px.

Für die praktische Gestaltung musst du oft mit ganzen Pixeln arbeiten. In der Pixeltabelle steht bei 1.200 px deshalb 742 px für den Inhalt und 458 px für die Seitenleiste. Bei 1.920 px liefert die exakte Rechnung 1.186,63 px und 733,37 px; die Tabelle zeigt als ganze Pixel 1.187 px und 733 px.

Das ist kein Widerspruch, sondern eine Frage der Darstellung. Exakte Werte sind gut für die Kontrolle und für vektorbasierte Entwürfe. Ganze Pixel sind sinnvoll, wenn das Ergebnis im Browser oder in einer Bilddatei sauber gerastert werden soll. Runde möglichst erst am Ende, damit sich kleine Abweichungen nicht Schritt für Schritt vergrößern.

Ein goldenes Rechteck entsteht, wenn die längere Seite zur kürzeren Seite im Verhältnis φ steht. Bei der Rechnung mit 100 cm als Breite ist die passende Höhe 61,803 cm. Bei 250 mm als Breite ist die passende Höhe 154,51 mm.

Goldener Schnitt und Fibonacci: Der Zusammenhang

Die Fibonacci-Zahlen nähern sich dem Goldenen Schnitt an, wenn du aufeinanderfolgende Werte durcheinander teilst. Am Anfang schwanken die Quotienten noch deutlich. In der Tabelle stehen zum Beispiel 1 ÷ 1 = 1,00000000 und 2 ÷ 1 = 2,00000000. Später liegen die Werte immer näher bei φ.

Bei 55 und 89 ergibt F(n+1) ÷ F(n) = 1,61818182. Bei 987 und 1.597 ergibt sich 1,61803445. Bei 6.765 und 10.946 steht 1,61803400 mit einer Abweichung von 0,00000001. Das erklärt, warum Fibonacci-Raster, Spiralen und goldene Rechtecke häufig gemeinsam auftauchen.

Trotzdem sind Goldener Schnitt und Fibonacci nicht dasselbe. Der Goldene Schnitt ist ein exaktes Verhältnis mit φ = 1,6180339887. Fibonacci-Folgen liefern Annäherungen daran. Für eine präzise Teilung einer Strecke verwendest du deshalb φ und nicht nur benachbarte Fibonacci-Zahlen.

Typische Fehler beim Goldenen Schnitt berechnen

Ein häufiger Fehler ist, den langen und den kurzen Teil zu vertauschen. Der lange Teil a ist immer der größere Abschnitt. Bei 100 cm sind das 61,803 cm, nicht 38,197 cm. Der kurze Teil b ist der kleinere Abschnitt.

Auch die Zahl φ wird manchmal falsch eingesetzt. φ ist kein Prozentwert. Der Anteil des langen Teils an der Gesamtlänge beträgt 61,803 %, der Anteil des kurzen Teils 38,197 %. Die Verhältniszahl selbst ist 1,618034. Wenn du diese Werte vermischst, bekommst du eine falsche Teilung.

Achte außerdem auf die Richtung der Aufgabe. Wenn die Gesamtlänge bekannt ist, teilst du sie in a und b. Wenn nur a bekannt ist, ergänzt du b und erhältst s. Bei a = 500 px ist b = 309,02 px und s = 809,02 px. Wenn nur b bekannt ist, wird zuerst a berechnet. Bei b = 30 mm ist a = 48,541 mm und s = 78,541 mm.

Bei Einheiten solltest du nicht mischen. Rechne eine Strecke vollständig in Zentimeter, Millimeter, Meter oder Pixeln. Der Rechner kann die Einheit zwar ausgeben, aber er wandelt nicht zwischen verschiedenen Planungsebenen wie Druckmaß, Bildschirmdarstellung und realem Objektmaß hin und her.