Bogenlänge-Rechner

Wie berechnet man die Bogenlänge eines Kreisbogens?

Die Bogenlänge ist die Länge des gekrümmten Kreisstücks zwischen zwei Punkten auf dem Kreis. Du brauchst dafür den Radius und den Mittelpunktswinkel. Wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist, rechnest du besonders direkt: Bogenlänge gleich Radius mal Winkel. Bei Gradangaben wird der Winkel erst ins Bogenmaß umgerechnet oder über den Anteil am Vollkreis verwendet.

Ein Beispiel: Bei einem Radius von 10 cm und einem Mittelpunktswinkel von 90° ist der Winkel im Bogenmaß 1,570796 rad = π/2. Die Rechnung lautet dann: b = r · α = 10 · 1,570796. Daraus ergibt sich eine Bogenlänge von 15,7080 cm. Dieselbe Rechnung geht auch über den Vollkreis: b = 2π · r · α/360° = 2π · 10 · 90/360.

Der Wert passt zur Anschauung: 90° sind ein Viertel des Vollkreises, der ganze Kreisumfang beträgt hier 62,8319 cm. Der Kreisbogen ist also der Viertelkreis. Zusätzlich lassen sich aus denselben Angaben die Sehne, die Pfeilhöhe und die Flächen berechnen. Im Beispiel sind das eine Sehne von 14,1421 cm, eine Pfeilhöhe von 2,9289 cm, eine Sektorfläche von 78,5398 und eine Segmentfläche von 28,5398.

Bogenlänge, Sehne und Pfeilhöhe richtig unterscheiden

Bogenlänge, Sehne und Pfeilhöhe beschreiben denselben Kreisbogen aus unterschiedlichen Blickwinkeln. Die Bogenlänge folgt der Rundung. Die Sehne ist die gerade Verbindung zwischen den beiden Endpunkten des Bogens. Die Pfeilhöhe, auch Stich genannt, ist der größte Abstand zwischen Sehne und Bogen.

Das sieht man gut bei Radius 5 m und 60°: Die Bogenlänge beträgt 5,2360 m, die Sehne 5,0000 m und die Pfeilhöhe 0,6699 m. Die gerade Sehne ist hier also kürzer als der Bogen, weil sie die Kurve abkürzt. Bei kleinen Winkeln liegen Bogen und Sehne oft dicht beieinander, bei größeren Winkeln wird der Unterschied deutlicher.

Bei einem Radius von 10 und 90° liegt die Bogenlänge bei 15,7080, die Sehne bei 14,1421 und die Pfeilhöhe bei 2,9289. Bei 180° mit Radius 5 cm ist die Sehne 10,0000 cm und die Pfeilhöhe 5,0000 cm. Der Bogen ist dann ein Halbkreis mit 15,7080 cm Länge. Diese Unterscheidung ist besonders wichtig, wenn du reale Maße nimmst: Eine Spannweite ist meist die Sehne, nicht die Länge entlang der Rundung.

Radius und Winkel aus Sehne und Pfeilhöhe berechnen

Wenn du keinen Radius kennst, aber eine Spannweite und einen Stich gemessen hast, kannst du den Radius trotzdem bestimmen. Das ist typisch bei Rundbögen, Torbögen, Fensterbögen oder gebogenen Bauteilen. Die Formel lautet in Worten: Radius gleich Summe aus Sehne zum Quadrat und viermal Pfeilhöhe zum Quadrat, geteilt durch achtmal Pfeilhöhe.

Beispiel mit Sehne 1,2 m und Pfeilhöhe 0,3 m: Der Radius beträgt 0,7500 m. Daraus folgt ein Mittelpunktswinkel von 106,2602° beziehungsweise 1,85459 rad. Die Bogenlänge ist 1,3909 m. Der Durchmesser liegt bei 1,5000 m. Die Segmentfläche beträgt 0,2516, die Sektorfläche 0,5216.

Ein weiteres Beispiel mit Sehne 20 cm und Pfeilhöhe 5 cm ergibt einen Radius von 12,5000 cm, einen Durchmesser von 25,0000 cm und eine Bogenlänge von 23,1824 cm. Auch hier ist der Mittelpunktswinkel 106,2602°. Das zeigt: Gleiche Form des Bogens kann in einer anderen Größe auftreten. Die Werte skalieren mit den Längen, der Winkel bleibt bei gleicher Proportion gleich.

Kreissektor und Kreissegment: Welche Fläche gehört zum Bogen?

Der Kreissektor ist der komplette Kreisausschnitt zwischen den beiden Radien und dem Bogen. Er sieht aus wie ein Kuchenstück. Das Kreissegment ist nur der Bereich zwischen Sehne und Bogen. Es ist also der abgeschnittene Kreisabschnitt ohne das Dreieck zwischen Mittelpunkt und Sehne.

Beim Viertelkreis mit Radius 10 cm und 90° beträgt die Sektorfläche 78,5398. Die Segmentfläche beträgt 28,5398. Beide Werte gehören zum gleichen Kreisbogen, meinen aber unterschiedliche Flächen. Wenn du zum Beispiel Material für einen kreisförmigen Ausschnitt berechnen willst, brauchst du je nach Zuschnitt die eine oder die andere Fläche.

Bei Radius 12 cm und 30° ist die Bogenlänge 6,2832 cm. Die Sektorfläche beträgt 37,6991, die Segmentfläche nur 1,6991. Der Unterschied ist hier groß, weil der Winkel klein ist und das Segment flach bleibt. Bei einem Halbkreis mit Radius 5 cm sind Sektorfläche und Segmentfläche beide 39,2699, weil die Sehne dann der Durchmesser ist und der Kreisabschnitt genau ein Halbkreis ist.

Kurvenlänge berechnen bei Funktionen

Die Bogenlänge gibt es auch bei Funktionsgraphen. Dann ist nicht der Kreisbogen gemeint, sondern die Länge einer Kurve zwischen zwei x-Werten. Die Formel lautet in Worten: Du integrierst die Wurzel aus eins plus Ableitung im Quadrat über das gewünschte Intervall. Der Rechner kann solche Längen numerisch bestimmen, wenn du Funktion und Intervall eingibst.

Für f(x)=x^2 von x=0 bis x=1 ist die Ableitung f’(x) = 2x. Das Bogenlängen-Integral lautet L = ∫ √(4x² + 1) dx von 0 bis 1. Die Kurvenlänge ist 1,478943. Die gerade Strecke zwischen den Endpunkten beträgt 1,414214. Die Kurve ist also länger als die direkte Verbindung.

Bei f(x)=sin(x) von x=0 bis x=3.14159 ergibt sich eine Kurvenlänge von 3,820194. Die gerade Strecke zwischen den Endpunkten beträgt 3,141590. Bei f(x)=sqrt(x) von x=1 bis x=4 ist die Kurvenlänge 3,167841, die gerade Strecke 3,162278. Je nach Funktion kann der Unterschied sehr klein oder deutlich sichtbar sein.

Typische Fehler beim Bogenlänge berechnen

Der häufigste Fehler ist die Verwechslung von Grad und Bogenmaß. In der Formel b = r · α muss der Winkel im Bogenmaß stehen. Wenn du 90 direkt als Bogenmaß einsetzt, bekommst du keinen Viertelkreis, sondern eine völlig andere Rechnung. Für 90° gehört 1,570796 rad = π/2 in die Formel.

Auch Einheiten müssen zusammenpassen. Wenn der Radius in Zentimetern eingegeben wird, kommt die Bogenlänge in Zentimetern heraus. Wenn du eine Sehne in Metern und eine Pfeilhöhe in Zentimetern mischst, ist das Ergebnis unbrauchbar. Wähle vor der Rechnung eine Einheit und bleib dabei.

Achte außerdem darauf, ob du den kleinen Bogen oder den großen Gegenbogen meinst. Bei Radius 10 cm und Sehne 12 cm ergibt sich für den kleineren Bogen eine Bogenlänge von 12,8700 cm. Der große Gegenbogen ist 49,961831 cm lang. Beide haben dieselben Endpunkte, aber unterschiedliche Winkel. Für Konstruktion, Zuschnitt oder Weglänge musst du deshalb klären, welcher Teil des Kreises gemeint ist.