Zylinder-Rechner

Wie berechnest du das Volumen eines Zylinders?

Für das Volumen eines Zylinders brauchst du die Kreisfläche unten und die Höhe. Die Rechnung lautet in Worten: Grundfläche des Kreises mal Höhe. Die Grundfläche hängt vom Radius ab, also vom Abstand zwischen Mittelpunkt und Rand. Wenn du nur den Durchmesser kennst, nimmst du den halben Durchmesser als Radius.

Wähle im Rechner die gesuchte Größe, gib Einheit und Maße ein, dann bekommst du Volumen, Literwert, Mantelfläche und Oberfläche.

Ein durchgerechnetes Beispiel: Bei einem Radius von 5 cm und einer Höhe von 10 cm ist die Grundfläche 78,5398 cm². Diese Fläche wird mit der Höhe multipliziert. Das ergibt ein Volumen von 785,3982 cm³. In Litern sind das 0,7854 l. Zusätzlich ergeben sich ein Umfang der Grundfläche von 31,4159 cm, eine Mantelfläche von 314,1593 cm² und eine gesamte Oberfläche von 471,2389 cm².

Der Literwert ist oft praktischer als cm³, etwa bei Dosen, Tonnen oder Behältern. Die Umrechnung basiert darauf, dass 1 dm³ = 1 Liter ist. Darum wird ein Zylindervolumen je nach Eingabe zusätzlich in passende Volumeneinheiten übertragen.

Was bedeuten Grundfläche, Mantelfläche und Oberfläche beim Zylinder?

Die Grundfläche ist der Kreis unten am Zylinder. Dieselbe Kreisfläche liegt oben noch einmal vor. Die Mantelfläche ist die gebogene Seitenfläche. Wenn du sie gedanklich aufschneidest und flach ausbreitest, entsteht ein Rechteck. Eine Seite dieses Rechtecks ist der Umfang der Grundfläche, die andere Seite ist die Höhe.

Beim Beispiel mit Radius 5 cm und Höhe 10 cm wird der Mantel als Rechteck mit 31,4159 cm × 10 cm dargestellt. Daraus folgt die Mantelfläche von 314,1593 cm². Die gesamte Oberfläche setzt sich aus der Mantelfläche und den beiden Kreisflächen zusammen. In diesem Beispiel sind das 471,2389 cm².

Das ist vor allem dann nützlich, wenn du Material abschätzen willst. Für den Inhalt eines Gefäßes brauchst du das Volumen. Für Folie, Blech, Lack, Etiketten oder Verpackungsmaterial ist dagegen die Oberfläche oder nur die Mantelfläche gefragt. Ein Etikett um eine Dose bedeckt meist nur den Mantel, nicht Deckel und Boden.

Wie viel Liter fasst ein Zylinder in typischen Größen?

Bei stehenden Zylindern steigt das Volumen direkt mit der Höhe. Bleibt der Durchmesser gleich, bringt jede zusätzliche Füllhöhe denselben Literzuwachs. Bei einem Durchmesser von 60 cm sind es 2,83 Liter je cm, 28,27 Liter je 10 cm und 282,74 Liter je m. Bei einem Durchmesser von 100 cm sind es 7,85 Liter je cm, 78,54 Liter je 10 cm und 785,4 Liter je m.

Ein anschauliches Beispiel ist eine Regentonne mit 60 cm Durchmesser und 90 cm Höhe. Der Radius beträgt 30 cm, die Grundfläche 2.827,43 cm². Daraus ergibt sich ein Volumen von 254.469 cm³, also 254,469 l. Die Mantelfläche beträgt 16.964,6 cm², die gesamte Oberfläche 22.619,47 cm².

Für kleinere Behälter zeigt ein anderes Beispiel den Maßstab: Ein Zylinder mit Radius 7 cm und Höhe 12 cm hat 1.847,26 cm³ Volumen, also 1,8473 l. Mit Radius 3,5 cm und Höhe 8 cm sind es 307,8761 cm³ oder 0,3079 l. So siehst du schnell, wie stark sich der Radius auswirkt: Er geht quadratisch in die Rechnung ein, die Höhe nur linear.

Wie findest du Radius oder Höhe aus einem bekannten Volumen?

Die Formel lässt sich umstellen. Wenn du Volumen und Radius kennst, teilst du das Volumen durch die Kreisfläche. So bekommst du die Höhe. Wenn du Volumen und Höhe kennst, bestimmst du zuerst die benötigte Grundfläche und daraus den Radius.

Ein Beispiel für die Höhe: Eine 1-Liter-Dose mit 4 cm Radius braucht eine Höhe von 19,8944 cm. Das Volumen wird dabei als 1.000 cm³ verwendet. Die Grundfläche beträgt 50,2655 cm², die Mantelfläche 500 cm² und die gesamte Oberfläche 600,531 cm².

Ein Beispiel für den Radius: Bei 2 l Volumen und 10 cm Höhe ergibt sich ein Radius von 7,9788 cm. Der Durchmesser beträgt 15,9577 cm, die Grundfläche 200 cm². Diese Rückwärtsrechnung ist hilfreich, wenn ein Behälter ein festes Fassungsvermögen haben soll, aber nur eine maximale Höhe oder Breite vorgegeben ist.

Achte darauf, Volumeneinheit und Längeneinheit passend zu wählen. 1 l entspricht im Beispiel 1.000 cm³. Wenn du cm als Längeneinheit verwendest, muss das Volumen für die geometrische Rechnung in cm³ passen.

Hohlzylinder und Rohr: Materialvolumen oder Innenvolumen?

Bei einem Hohlzylinder wird nicht die ganze Kreisfläche gefüllt, sondern nur der Ring zwischen Außenkreis und Innenkreis. Das ist typisch bei Rohren, Hülsen oder zylindrischen Wandungen. Die Rechnung nutzt die Ringfläche und multipliziert sie mit der Länge beziehungsweise Höhe.

Ein Beispiel: Ein Stahlrohr mit Außendurchmesser 48,3 mm, Innendurchmesser 43,1 mm und Länge 1.000 mm hat eine Wandstärke von 2,6 mm. Die Ringfläche beträgt 373,284 mm². Daraus entsteht ein Materialvolumen von 373.284,04 mm³, also 0,3733 l. Der Rohrinhalt innen ist etwas anderes: Er beträgt in diesem Beispiel 1,459 l.

Auch bei einem Hohlzylinder mit Außendurchmesser 10 cm, Innendurchmesser 8 cm und Höhe 30 cm siehst du den Unterschied klar. Das Materialvolumen beträgt 848,23 cm³ oder 0,8482 l. Das Innenvolumen beträgt 1,508 l. Für Gewicht, Materialbedarf oder Verdrängung ist das Materialvolumen relevant. Für Wasser, Luft oder Füllgut im Rohr brauchst du dagegen das Innenvolumen.

Liegender Tank: Füllmenge aus der Füllhöhe richtig deuten

Ein liegender zylindrischer Tank verhält sich anders als ein stehender Zylinder. Die Füllhöhe wächst zwar am Peilstab gleichmäßig, die Literzahl aber nicht. Unten und oben ist der Tank schmaler, in der Mitte am breitesten. Darum entspricht die halbe Füllhöhe genau 50 % Inhalt, aber andere Höhenanteile sind nicht einfach proportional.

Beim liegenden Heizöltank mit 125 cm Innendurchmesser, 250 cm Innenlänge und 60 cm Füllhöhe ergibt sich eine Füllmenge von 1.455,88 l. Das Gesamtvolumen beträgt 3.067,96 l, der Füllgrad 47,5 %, und noch frei sind 1.612,08 l. Die Rechnung nutzt eine Kreissegmentfläche und multipliziert diese mit der Innenlänge.

Ein weiteres Beispiel: Bei 100 cm Innendurchmesser, 200 cm Länge und 30 cm Füllhöhe enthält der liegende Tank 396,3367 l. Das Gesamtvolumen beträgt 1.570,8 l, der Füllgrad 25,2 %. Typische Fehler entstehen, wenn du die Füllhöhe wie bei einem stehenden Zylinder linear umrechnest oder den Außendurchmesser statt des Innendurchmessers verwendest. Bei gewölbten Böden kann der reale Inhalt außerdem etwas höher liegen als die Rechnung für den rein zylindrischen Teil.