IEEE-754-Rechner

Was macht ein IEEE 754 Rechner?

Ein ieee 754 rechner zeigt dir, wie eine Dezimalzahl intern als Gleitkommazahl gespeichert wird. Das ist vor allem dann hilfreich, wenn eine Zahl im Code anders aussieht als erwartet, wenn du ein Hex-Bitmuster aus einem Debugger liest oder wenn du wissen willst, ob eine Zahl exakt darstellbar ist.

IEEE 754 zerlegt eine Zahl in Vorzeichen, Exponent und Mantisse. Aus diesen Feldern entsteht ein Bitmuster, das häufig als Hex-Wert angezeigt wird. Bei der Eingabe 0,1 im Format float entsteht zum Beispiel 0x3DCCCCCD. Die Zahl wird dabei nicht exakt gespeichert, sondern als 0,100000001490116119384765625. Die kürzeste Ausgabe bleibt trotzdem 0,1, weil viele Programmiersprachen beim Anzeigen runden.

Du wählst im Rechner die Richtung, gibst Dezimalzahl oder Bitmuster ein und stellst das Format half, float oder double ein.

Der Rechner ist damit ein ieee 754 konverter in beide Richtungen: Dezimal nach Hex und Bits, oder Hex beziehungsweise Binär zurück zur Dezimalzahl. Für 3F800000 als float kommt der Dezimalwert 1 heraus. Für BF800000 als float kommt -1 heraus. Das Vorzeichen-Bit ist dann anders, Exponent und Mantisse bleiben in diesem Beispiel gleich.

Wie funktioniert die IEEE 754 Berechnung?

Für normalisierte Werte lautet die Rechnung in Worten: Vorzeichenfaktor mal Zweierpotenz aus gespeichertem Exponenten abzüglich Bias mal eins plus Mantisse geteilt durch zwei hoch p. Der Bias hängt vom Format ab. Bei float gilt k = 8, p = 23 und Bias 127. Bei double gilt k = 11, p = 52 und Bias 1023. Bei subnormalen Werten wird nicht mit der führenden eins gerechnet, sondern nur mit Mantisse geteilt durch zwei hoch p.

Ein Beispiel mit 0,1 als float zeigt den Ablauf:

• Format: binary32 mit 1 Vorzeichenbit, 8 Exponentbits, 23 Mantissenbits und Bias 127
• Bits: 0 01111011 10011001100110011001101
• Vorzeichen-Bit: 0
• Exponent gespeichert: 123
• Exponent tatsächlich: -4
• Mantisse: 10011001100110011001101
• Hex-Darstellung: 0x3DCCCCCD

Der Exponent wird also nicht direkt als -4 gespeichert. Im Bitmuster steht 01111011, das dem gespeicherten Exponenten 123 entspricht. Erst nach Abzug des Bias ergibt sich der tatsächliche Exponent -4. Die Zerlegung lautet: (-1)^0 × 2^-4 × 1,6000000238418579101… Daraus entsteht der exakt gespeicherte Wert 0,100000001490116119384765625.

Wichtig für das Verständnis: Die Mantisse enthält nicht die Dezimalziffern der Eingabe. Sie beschreibt den binären Anteil der Zahl. Deshalb sehen Werte wie 0,1 oder 0,2 im Binärsystem oft periodisch aus und müssen auf die vorhandenen Mantissenbits gerundet werden.

float, double und half im Vergleich

Die Formate unterscheiden sich vor allem darin, wie viele Bits für Exponent und Mantisse verfügbar sind. Mehr Mantissenbits bedeuten mehr Genauigkeit, mehr Exponentbits bedeuten einen größeren Wertebereich. Der Rechner deckt half, float und double ab.

Format	Bits	Exponent	Mantisse	Bias	Dezimalstellen
binary16 (half)	16	5	10	15	3,31
binary32 (float)	32	8	23	127	7,22
binary64 (double)	64	11	52	1.023	15,95

Der Unterschied wird bei 0,1 sichtbar. Als float wird 0,1 zu 0x3DCCCCCD und exakt als 0,100000001490116119384765625 gespeichert. Als double wird 0,1 zu 0x3FB999999999999A und exakt als 0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625 gespeichert. Beide Werte sind gerundet, aber double liegt deutlich näher an der ursprünglichen Eingabe.

Nicht jede gerundete Zahl ist ein Problem. 1,5 ist als half exakt darstellbar und wird zu 0x3E00. Auch -2,75 ist als float exakt darstellbar und wird zu 0xC0300000. 1000 ist als double ebenfalls exakt darstellbar und wird zu 0x408F400000000000. Ob eine Zahl exakt ist, hängt nicht daran, ob sie im Dezimalsystem kurz aussieht, sondern daran, ob sie im Binärsystem ohne Rundung in die Mantisse passt.

Warum ergibt 0,1 + 0,2 nicht genau 0,3?

Der bekannte Effekt entsteht, weil 0,1 und 0,2 im double-Format bereits gerundete Werte sind. 0,1 wird als 0x3FB999999999999A gespeichert, 0,2 als 0x3FC999999999999A. Die exakt gespeicherten Werte lauten 0,100000000000000005551115123125… und 0,200000000000000011102230246251…

Wenn diese gespeicherten Werte addiert werden, entsteht als Ergebnis das Bitmuster 0x3FD3333333333334. Die Ausgabe lautet 0,30000000000000004. Der direkt eingegebene Wert 0,3 liegt dagegen bei 0x3FD3333333333333 und wird exakt als 0,299999999999999988897769753748… gespeichert.

Das heißt: Das Rechenergebnis und die eingegebene Dezimalzahl 0,3 landen auf benachbarten darstellbaren Werten. Beide werden bei kurzer Ausgabe oft harmlos dargestellt, aber im exakten Speicherwert sieht man den Unterschied.

Für die Praxis heißt das: Vergleiche Gleitkommazahlen nicht blind auf exakte Gleichheit, wenn vorher gerechnet wurde. Für Anzeigen, Messwerte oder Simulationen arbeitest du besser mit einer passenden Toleranz. Für Geldbeträge oder feste Dezimalstellen ist ein Dezimaltyp oder eine Ganzzahl-Skalierung oft besser geeignet als float oder double.

Typische Fehler beim IEEE 754 umrechnen

Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung von Hex-Darstellung und Dezimalwert. 3F800000 ist kein Dezimalwert, sondern ein Bitmuster. Als float interpretiert bedeutet es 1. Als double wäre ein anderes Format nötig, denn double erwartet ein anderes Bitmuster. Achte deshalb immer darauf, ob du float, double oder half auswählst.

Ein zweiter Fehler ist die Annahme, dass die kürzeste Ausgabe dem exakten Speicherwert entspricht. Bei 0,1 als float zeigt die kurze Schreibweise 0,1, der gespeicherte Wert ist aber 0,100000001490116119384765625. Bei 0,3 als double zeigt die kurze Schreibweise 0,3, gespeichert ist 0,299999999999999988897769753748434595763683319091796875.

Auch Sonderwerte werden leicht falsch gelesen. IEEE 754 kennt positive und negative Null, Unendlich und Not a Number. Beispiele:

Wert	float	double
+0	0x00000000	0x0000000000000000
negative Null	0x80000000	0x8000000000000000
+∞	0x7F800000	0x7FF0000000000000
-∞	0xFF800000	0xFFF0000000000000
Not a Number (quiet)	0x7FC00000	0x7FF8000000000000

Wenn du Hexwerte aus Speicherabbildern übernimmst, kann außerdem die Byte-Reihenfolge eine Rolle spielen. Der IEEE-754-Wert selbst ist durch die Bits definiert, aber die Reihenfolge der Bytes im Speicher kann anders aussehen. Prüfe daher, ob dein Hexwert schon in der richtigen Reihenfolge notiert ist.