Tangenten-Rechner

Was bedeutet tangentengleichung berechnen?

Eine Tangente ist die Gerade, die den Graphen einer Funktion in einem Berührpunkt lokal mit derselben Steigung berührt. Wenn du die Tangentengleichung berechnen willst, brauchst du deshalb zwei Dinge: den Berührpunkt auf dem Graphen und die Steigung der Funktion an genau dieser Stelle.

Die Steigung kommt aus der Ableitung. Bei einer Funktion f(x) ist f’(x₀) die Steigung im Punkt mit der x-Koordinate x₀. Der zugehörige y-Wert ist f(x₀). Daraus entsteht eine Gerade in Punkt-Steigungs-Form. Diese Form ist oft am übersichtlichsten, weil du direkt erkennst, wo die Tangente den Graphen berührt und welche Steigung sie dort hat.

Der Unterschied zur Sekante ist: Eine Sekante schneidet den Graphen typischerweise in zwei Punkten. Eine Tangente beschreibt dagegen die momentane Richtung des Graphen an einer Stelle. In der Differentialrechnung ist sie deshalb die Gerade, mit der du das Verhalten einer Kurve nahe am Berührpunkt näherungsweise beschreibst.

Der Rechner kann mit verschiedenen Angaben arbeiten: mit einer Stelle x₀, mit einem äußeren Punkt oder mit einer vorgegebenen Steigung.

Wie rechnet man die Tangentengleichung aus?

Die Rechnung läuft immer nach demselben Muster. In Worten: Leite die Funktion ab, setze die Stelle x₀ in die Funktion ein, setze dieselbe Stelle in die Ableitung ein und bilde daraus die Gerade durch den Berührpunkt mit dieser Steigung.

Als Formel lautet das:

t(x) = f'(x₀)·(x - x₀) + f(x₀)

Beispiel mit f(x) = x³ - 2x² + 1 an der Stelle x₀ = 2:

• Funktion: f(x) = x³ - 2x² + 1
• Ableitung: f'(x) = 3x² - 4x
• Berührpunkt: f(2) = 1, also B(2 | 1)
• Steigung: m = f'(2) = 4
• Punkt-Steigungs-Form: t(x) = 4·(x - 2) + 1
• Vereinfacht: t(x) = 4x - 7

Die Punkt-Steigungs-Form ist besonders gut zum Kontrollieren. Du siehst sofort: Die Gerade geht durch B(2 | 1) und hat die Steigung 4. Die vereinfachte Form t(x) = 4x - 7 ist praktisch, wenn du Schnittpunkte, y-Achsenabschnitt oder Funktionswerte der Tangente brauchst.

Zur Tangente gehört oft auch die Normale. Sie steht senkrecht auf der Tangente. Wenn die Tangente die Steigung m hat, verwendet die Normale die Gegensteigung -1/m. Im Beispiel ergibt sich n(x) = -x/4 + 3/2. Der Steigungswinkel der Tangente ist hier 75,96 °, und ihr Schnittpunkt mit der x-Achse ist N(7/4 | 0).

Tangente durch Punkt außerhalb und Tangente parallel zu einer Geraden

Manchmal ist nicht die Berührstelle gegeben, sondern ein Punkt außerhalb des Graphen. Dann ist die Berührstelle unbekannt. Der Ansatz lautet: Die Tangente im unbekannten Berührpunkt u muss durch den vorgegebenen Punkt laufen. Dafür wird die Gleichung f(u) + f'(u)·(pₓ - u) = p_y gelöst.

Ein typisches Beispiel ist f(x) = x² mit dem äußeren Punkt P(2 | 3). Die Rechnung liefert zwei Tangenten:

Berührpunkt	Tangente	Normale
`B(1	1)`	t₁(x) = 2x - 1
`B(3	9)`	t₂(x) = 6x - 9

Das zeigt einen wichtigen Punkt: Von außen können mehrere Tangenten an denselben Graphen möglich sein. Bei anderen Funktionen kann auch nur eine passende Tangente herauskommen. Für f(x) = x³ - 2x² + 1 durch P(0 | -1) ergibt sich zum Beispiel t(x) ≈ 0,5814x - 1 mit dem Berührpunkt B(1,4656 | -0,1479) gerundet.

Wenn eine Tangente parallel zu einer Geraden gesucht ist, brauchst du deren Steigung. Bei y = 2x - 5 ist die Steigung m = 2. Dann setzt du f'(x) = 2 und suchst die Berührstellen. Für f(x) = x³ - 2x² + 1 entstehen dabei t₁(x) = 2x + 20√10/27 - 25/27 und t₂(x) = 2x - 20√10/27 - 25/27. Der Achsenabschnitt der vorgegebenen Geraden ist dabei nicht entscheidend, weil Parallelität nur von der Steigung abhängt.

Waagerechte Tangente und Normale berechnen

Eine waagerechte Tangente hat die Steigung 0. Du suchst sie also über die Gleichung f'(x) = 0. Ist eine solche Stelle gefunden, ist die Tangente eine konstante Gerade. Sie hat die Form t(x) = f(x₀).

Für f(x) = x³ - 2x² + 1 ergeben sich bei vorgegebener Steigung m = 0 die Berührpunkte B(0 | 1) und B(4/3 | -5/27). Die Tangenten sind t₁(x) = 1 und t₂(x) = -5/27. Beide sind waagerecht, weil ihre Steigung 0 ist.

Auch an einer fest vorgegebenen Stelle kann eine waagerechte Tangente auftreten. Bei derselben Funktion an x₀ = 0 lautet die Tangente t(x) = 1, der Berührpunkt ist B(0 | 1), und der Steigungswinkel ist 0,00 °. Einen Schnittpunkt mit der x-Achse hat diese Tangente nicht.

Die Normale ist in diesem Sonderfall keine Gerade der Form n(x) = mx + b. Sie ist senkrecht und wird als x = 0 (senkrechte Gerade) angegeben. Allgemein gilt: Wenn die Tangente waagerecht ist, steht die Normale senkrecht. Deshalb darfst du hier nicht einfach die Formel mit -1/m einsetzen, denn bei m = 0 wäre diese Steigung nicht definiert.

Welche Fehler solltest du beim Tangenten-Rechner vermeiden?

Gib zuerst an, ob x₀, ein äußerer Punkt oder eine Steigung gegeben ist, und trage die Funktion in üblicher Schreibweise wie x^2, sqrt(x), e^(2x), ln(x) oder sin(x) ein.

Häufige Fehler entstehen, wenn x-Wert, y-Wert und Steigung vermischt werden. x₀ ist die x-Koordinate der Berührstelle, nicht automatisch der y-Wert und auch nicht der y-Achsenabschnitt. Der y-Wert entsteht erst durch Einsetzen in die Funktion.

Achte außerdem auf den Definitionsbereich. Funktionen wie ln(x), √x oder 1/x sind nicht an jeder Stelle verwendbar. Eine Tangente kann nur dort berechnet werden, wo die Funktion an der betrachteten Stelle definiert und differenzierbar ist.

Bei vorgegebener Steigung kann es mehrere Ergebnisse geben. Eine Tangente parallel zu einer Geraden ist nicht zwangsläufig eindeutig, weil dieselbe Steigung an mehreren Berührstellen auftreten kann. Umgekehrt kann es Fälle geben, in denen keine passende Tangente gefunden wird.

Kurven, die nicht als Funktion y = f(x) gegeben sind, brauchen vor der Rechnung eine passende Umformung oder ein anderes Verfahren. Der hier verwendete Ansatz arbeitet mit Funktionen in x und ihrer Ableitung. Wenn deine Kurve parametrisch, implizit oder stückweise beschrieben ist, musst du zuerst prüfen, ob sie an der gesuchten Stelle als Funktion behandelt werden kann.