Dreieck-Rechner

Dreieck berechnen: Welche Angaben reichen aus?

Ein Dreieck lässt sich eindeutig bestimmen, wenn genug passende Angaben vorhanden sind und mindestens eine Seite dabei ist. Typische Eingaben sind drei Seiten, zwei Seiten mit dem eingeschlossenen Winkel oder zwei Winkel mit einer Seite. Aus diesen Angaben berechnet der Rechner die fehlenden Seiten, die Winkel, den Umfang, die Fläche, die Höhen sowie Inkreisradius und Umkreisradius.

Wähle im Rechner den passenden Fall wie SSS, SWS, WSW, SWW oder SSW aus und trage die bekannten Werte mit der richtigen Längeneinheit ein.

Die Buchstaben sind dabei fest zugeordnet: Die Seite a liegt gegenüber dem Winkel α, die Seite b gegenüber β und die Seite c gegenüber γ. Das ist besonders wichtig, wenn du mit Winkeln arbeitest. Bei SWS ist γ der Winkel zwischen a und b. Bei WSW ist c die Seite zwischen α und β. Bei SWW ist eine Seite mit zwei Winkeln gegeben. Bei SSW kann es einen Sonderfall geben, weil aus den Angaben manchmal zwei verschiedene Dreiecke entstehen.

Wie funktioniert dreieck berechnen aus drei Seiten?

Bei drei bekannten Seiten nutzt die Rechnung zuerst den Kosinussatz, um die Winkel zu bestimmen. In Worten: Ein Winkel ergibt sich aus den beiden anliegenden Seiten und der gegenüberliegenden Seite. Danach wird für die Fläche oft die Heron Formel verwendet. Dabei wird zuerst der halbe Umfang s gebildet, danach folgt die Wurzel aus s · (s - a) · (s - b) · (s - c).

Ein einfaches Beispiel ist das Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm. Der Kosinussatz liefert α = 36,87°, β = 53,13° und γ = 90°. Damit ist das Dreieck rechtwinklig. Für die Fläche ergibt sich mit der Heron Formel A = 6 cm². Der Umfang beträgt 12 cm. Die Höhen sind h_a = 4 cm, h_b = 3 cm und h_c = 2,4 cm.

Dasselbe Beispiel zeigt auch, warum die Zuordnung der Seiten zählt. Der Winkel γ liegt gegenüber der Seite c. Wenn c die längste Seite ist, kann γ der rechte Winkel sein. Vertauschst du Seiten und Winkel in der Eingabe, passt die Rechnung zu einem anderen Dreieck.

Flächeninhalt Dreieck: Grundseite und Höhe richtig verwenden

Für den Flächeninhalt reicht eine Grundseite mit der zugehörigen Höhe. Die Formel lautet: Grundseite mal Höhe geteilt durch 2. Die Höhe ist immer der senkrechte Abstand zur Grundseite. Sie ist nicht automatisch eine schräge Dreiecksseite.

Für g = 18 m und h = 7 m ergibt sich A = 63 m². Umgerechnet sind das 630.000 cm² = 0,0063 ha. Bei einem Giebel mit Grundseite 8 m und Höhe 3 m ergibt sich A = 12 m², also 120.000 cm² = 0,0012 ha.

Wenn du keine Höhe hast, kann die Fläche trotzdem berechnet werden. Bei drei Seiten geht das mit der Heron Formel. Bei zwei Seiten und eingeschlossenem Winkel geht es über ½ · a · b · sin(γ). Für a = 7 cm, b = 9 cm und γ = 60° ergibt sich zum Beispiel A = 27,28 cm². Die fehlende Seite c ist 8,185 cm, die Winkel sind α = 47,784° und β = 72,216°.

Wann nutzt man Kosinussatz, Sinussatz oder Heron Formel?

Der Kosinussatz passt besonders gut, wenn du drei Seiten kennst oder zwei Seiten mit dem Winkel dazwischen. Bei SWS wird damit zuerst die dritte Seite berechnet. Danach lassen sich die übrigen Winkel bestimmen. Ein Beispiel: Bei a = 12 cm, b = 8 cm und γ = 45° ergibt sich c = 8,499 cm. Die Fläche beträgt 33,941 cm², und das Dreieck ist stumpfwinklig, weil α = 93,273° ist.

Der Sinussatz passt, wenn eine Seite und passende Winkel bekannt sind. Bei α = 45°, β = 55° und c = 20 m ergibt sich γ = 80°. Daraus folgen a = 14,36 m und b = 16,636 m. Die Fläche beträgt 117,63 m², der Umfang 50,996 m.

Die Heron Formel ist praktisch, wenn du alle Seiten kennst, aber keine Höhe. Bei einem Grundstück mit den Seiten 40 m, 35 m und 25 m ergibt sich eine Fläche von 433,01 m². Das Dreieck ist spitzwinklig und unregelmäßig. Die Fläche entspricht 4.330.127,02 cm² = 0,0433 ha.

Welche Fehler solltest du beim Dreieck berechnen vermeiden?

Der häufigste Fehler ist eine falsche Zuordnung von Seite und Winkel. a gehört zu α, b zu β und c zu γ. Wenn du zum Beispiel α eingibst, muss dieser Winkel gegenüber von a liegen. Das klingt klein, ändert aber die komplette Geometrie.

Achte außerdem auf den Fall SSW. Dabei sind zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel gegeben. Dieser Fall kann mehrdeutig sein. Für a = 7 cm, b = 9 cm und α = 40° ergibt sich eine Lösung mit c = 10,836 cm, β = 55,735°, γ = 84,265° und A = 31,342 cm². Es gibt aber auch eine zweite Lösung mit c = 2,953 cm, β = 124,27°, γ = 15,735° und A = 8,542 cm².

Prüfe bei Seitenangaben auch, ob überhaupt ein Dreieck entstehen kann. Die längste Seite muss kürzer sein als die beiden anderen Seiten zusammen. Bei Winkelangaben müssen die Innenwinkel zusammen 180° ergeben. Einheitlich müssen die Längen ebenfalls sein: Wenn a in cm steht und b in m gemeint ist, ist das Ergebnis geometrisch falsch, auch wenn die Rechnung formal durchläuft.