Sattelpunkt-Rechner

Was bedeutet Sattelpunkt berechnen?

Wenn du einen Sattelpunkt berechnen willst, suchst du eine Stelle, an der der Graph eine waagerechte Tangente hat und zugleich seine Krümmung wechselt. Bei Funktionen mit einer Variablen ist das der typische Terrassenpunkt: Der Graph steigt oder fällt weiter, flacht aber an einer Stelle kurz ab.

Der zentrale Unterschied zum Extrempunkt liegt im Verlauf der Steigung. Bei einem Hochpunkt oder Tiefpunkt wechselt f’(x) das Vorzeichen. Bei einem Sattelpunkt passiert das gerade nicht. Die Steigung wird zwar null, aber der Graph läuft in derselben Richtung weiter. Darum reicht es nicht, nur f’(x) = 0 zu lösen.

Du nutzt den Rechner, indem du f(x) oder f(x, y) auswählst, die Funktion eingibst und bei Bedarf einen Suchbereich setzt. Für Polynome kann die Rechnung die Kandidaten vollständig untersuchen. Bei Funktionen mit sin(x), e^x oder ln(x) ist der Suchbereich vor allem dafür da, relevante Stellen einzugrenzen.

Wie rechnet man einen Sattelpunkt bei f(x) aus?

Für eine Funktion f(x) gehst du in drei Schritten vor. Zuerst bestimmst du die Stellen mit f’(x) = 0. Danach prüfst du an diesen Stellen f’‘(x). Für einen Sattelpunkt muss dort f’‘(x) = 0 gelten. Als hinreichendes Kriterium wird dann f’‘’(x) geprüft: Gilt f’‘’(x) ≠ 0, liegt ein Sattelpunkt vor.

Am Beispiel f(x) = x³ − 3x² + 3x ergibt sich:

• f’(x) = 3x² − 6x + 3
• f’’(x) = 6x − 6
• f’‘’(x) = 6

Die Gleichung f’(x) = 0 führt hier zu x = 1. Danach wird dieser Kandidat in die höheren Ableitungen eingesetzt. Es gilt f’‘(1) = 0 und f’‘’(1) = 6. Damit ist der Kandidat kein Hochpunkt und kein Tiefpunkt, sondern ein Sattelpunkt. Der Funktionswert ist y = 1, also liegt der Punkt bei S(1 | 1).

Die Tangente im Sattelpunkt ist waagerecht. In diesem Beispiel lautet sie y = 1. Das passt zur Vorstellung eines Terrassenpunkts: Der Graph hat dort kurz die Steigung null, läuft aber ohne Richtungswechsel der Steigung weiter.

Sattelpunkt, Wendepunkt und Extrempunkt unterscheiden

Ein Wendepunkt beschreibt zuerst nur den Wechsel der Krümmung. Ein Sattelpunkt ist spezieller: Er ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Deshalb prüfst du beim Sattelpunkt zusätzlich die Bedingung f’(x) = 0. Ein Wendepunkt ohne waagerechte Tangente ist kein Sattelpunkt.

Ein Extrempunkt ist wieder etwas anderes. Dort liegt ein lokales Maximum oder Minimum vor. In der Rechnung sieht man das meist daran, dass f’’(x) an einer stationären Stelle positiv oder negativ ist. Bei f(x) = x³ − 3x im Bereich von -4 bis 4 entstehen zum Beispiel zwei stationäre Stellen: x = −1 ist ein Hochpunkt, x = 1 ist ein Tiefpunkt. Ein Sattelpunkt entsteht dort nicht.

Ein gutes Gegenbeispiel ist f(x) = x⁴. Hier gilt f’(x) = 4x³, f’‘(x) = 12x² und f’‘’(x) = 24x. Bei x = 0 sind f’‘(0) und f’‘’(0) null. Die weitere Prüfung ergibt einen Tiefpunkt, keinen Sattelpunkt. Daran siehst du: f’(x) = 0 und f’’(x) = 0 sind notwendige Bedingungen, aber noch kein Beweis.

Bei f(x) = x⁵ liegt dagegen S(0 | 0) vor. Hier führt die Prüfung über höhere Ableitungen zum Sattelpunkt. Solche Fälle erklären, warum eine Rechnung nicht zu früh abbrechen sollte, wenn f’‘’(x) an der Kandidatenstelle ebenfalls null ist.

Sattelpunkt mit Hesse-Matrix bei f(x, y) bestimmen

Bei Funktionen mit zwei Variablen sieht die Rechnung anders aus. Statt einer einzigen Ableitung nutzt du den Gradienten und die Hesse-Matrix. Zuerst werden die partiellen Ableitungen null gesetzt. So findest du stationäre Punkte. Danach entscheidet die Hesse-Matrix, ob ein Sattelpunkt vorliegt.

Die Bedingung für einen Sattelpunkt lautet hier: grad f = 0 und det H = f_xx · f_yy − f_xy² < 0. Das bedeutet: In verschiedene Richtungen verhält sich die Fläche unterschiedlich. Anschaulich steigt sie in einer Richtung an und fällt in einer anderen ab.

Ein Standardbeispiel ist f(x, y) = x² − y². Die partiellen Ableitungen sind f_x = 2x und f_y = −2y. Beide werden bei (0 | 0) null. Die Hesse-Matrix liefert f_xx = 2, f_yy = −2 und f_xy = 0. Daraus folgt det H = −4. Also ist S(0 | 0 | 0) ein Sattelpunkt.

Auch f(x, y) = x³ + y³ − 3xy zeigt den Unterschied zwischen Sattelpunkt und Minimum gut. Die Rechnung findet S(0 | 0 | 0) als Sattelpunkt. Daneben gibt es bei (1 | 1) ein lokales Minimum mit z = −1. Eine mehrdimensionale Funktion kann also stationäre Punkte verschiedener Art enthalten.

Typische Fehler beim Sattelpunkt bestimmen

Der häufigste Fehler ist, jede Stelle mit f’(x) = 0 sofort als Sattelpunkt zu deuten. Das stimmt nicht. Bei f(x) = x³ − 6x² + 9x liegen stationäre Stellen bei x = 1 und x = 3. Die Prüfung zeigt aber: x = 1 ist ein Hochpunkt, x = 3 ist ein Tiefpunkt. Ein Sattelpunkt ist dort nicht vorhanden.

Ein zweiter Fehler ist, f’‘(x) = 0 allein als Beweis zu verwenden. Diese Bedingung zeigt nur, dass du weiter prüfen musst. Erst die zusätzliche Betrachtung von f’‘’(x) oder der Vorzeichenwechsel von f’’ bringt die Entscheidung. Wenn f’‘’(x₀) ≠ 0 gilt, ist die Sache bei f(x) klar. Wenn nicht, können höhere Ableitungen nötig sein.

Bei f(x, y) solltest du nicht nur die Gleichung det H < 0 prüfen, ohne vorher den Gradienten zu betrachten. Ein Sattelpunkt der Fläche wird an einem stationären Punkt klassifiziert. Erst wenn die partiellen Ableitungen gemeinsam null sind, ist die Hesse-Matrix an dieser Stelle entscheidend.

Achte außerdem auf den Suchbereich. Bei Polynomen werden die Kandidaten algebraisch gefunden. Bei Funktionen mit periodischem Verlauf kann ein zu enger Bereich dazu führen, dass du nur einen Teil der Sattelpunkte siehst. Das Ergebnis passt dann zur eingegebenen Auswahl, nicht automatisch zur gesamten Funktion.