Primfaktorzerlegung

Was bedeutet Primfaktorzerlegung?

Die Primfaktorzerlegung zerlegt eine ganze Zahl in Faktoren, die selbst Primzahlen sind. Eine Primzahl hat genau die Teiler 1 und sich selbst. Dadurch bekommst du eine eindeutige Schreibweise, mit der du viele Aufgaben schneller löst: Teiler finden, Brüche kürzen, ggT und kgV bestimmen oder prüfen, ob eine Zahl prim ist.

Wähle im Rechner aus, ob du die Primfaktoren einer Zahl oder ggT und kgV zweier Zahlen berechnen möchtest, und gib deine Zahl ein.

Der Unterschied zur reinen Primzahlprüfung ist wichtig: Bei einer Primzahl bleibt die Zerlegung bei der Zahl selbst stehen. Bei 97 lautet die Primfaktorzerlegung deshalb 97, und die Teiler sind 1, 97. Bei einer zusammengesetzten Zahl entsteht dagegen ein Produkt aus mehreren Primzahlen. Bei 84 ist das 2² · 3 · 7, ausgeschrieben 2 · 2 · 3 · 7.

Wie funktioniert die Primfaktorzerlegung von Hand?

Du teilst die Zahl immer durch die kleinste passende Primzahl, bis am Ende 1 übrig bleibt. Die verwendeten Teiler sind die Primfaktoren. Gleiche Faktoren fasst du mit Hochzahlen zusammen.

Beispiel 360:

• 360 : 2 = 180
• 180 : 2 = 90
• 90 : 2 = 45
• 45 : 3 = 15
• 15 : 3 = 5
• 5 : 5 = 1

Daraus wird die Primfaktorzerlegung 2³ · 3² · 5. Ausgeschrieben heißt das 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5. Du siehst daran auch den Unterschied zwischen „Primfaktoren mit Wiederholung“ und „verschiedenen Primfaktoren“: Mit Wiederholung sind es 6 Faktoren, verschieden sind es 3.

Für die Anzahl aller Teiler nutzt du die Hochzahlen. In Worten: Erhöhe jeden Exponenten um 1 und multipliziere die Ergebnisse. Bei 360 steht in der Zerlegung 2³ · 3² · 5. Daraus folgt (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24. Die Zahl 360 hat also 24 Teiler.

Alle Teiler einer Zahl aus der Primfaktorzerlegung ablesen

Die Primfaktorzerlegung hilft dir, die Teiler systematisch zu finden. Bei 360 sind die Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Solche Listen entstehen aus allen möglichen Kombinationen der Primfaktoren.

Ein zweites Beispiel zeigt den Zusammenhang gut: 1.000 hat die Primfaktorzerlegung 2³ · 5³. Ausgeschrieben ist das 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5. Weil hier nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, ergeben sich 16 Teiler: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1.000.

Bei 512 ist es noch übersichtlicher, weil nur ein Primfaktor vorkommt: 2⁹. Die Teiler sind 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Die Teileranzahl folgt direkt aus (9 + 1) = 10. Solche Potenzen sind gute Übungsbeispiele, weil du sofort siehst, wie der Exponent die Teileranzahl steuert.

ggT und kgV mit Primfaktorzerlegung berechnen

Für ggT und kgV vergleichst du die Primfaktorzerlegungen zweier Zahlen. Beim ggT nimmst du nur gemeinsame Primfaktoren und jeweils den kleineren Exponenten. Beim kgV nimmst du alle vorkommenden Primfaktoren und jeweils den größeren Exponenten.

Beispiel mit 24 und 36:

• 24 = 2³ · 3
• 36 = 2² · 3²
• ggT = 2² · 3 = 12
• kgV = 2³ · 3² = 72

Das ist praktisch beim Kürzen von Brüchen: Der ggT zeigt dir den größten Faktor, durch den beide Zahlen teilbar sind. Das kgV brauchst du eher beim Gleichnamigmachen von Brüchen oder bei Aufgaben mit wiederkehrenden Abständen.

Weitere Beispiele zeigen das Muster: Bei 84 und 126 ist der ggT 42 und das kgV 252. Bei 100 und 250 ist der ggT 50 und das kgV 500. Entscheidend ist nicht, welche Zahl größer ist, sondern welche Primfaktoren in beiden Zerlegungen vorkommen und welche Hochzahlen sie haben.

Typische Fehler bei der Primfaktorzerlegung vermeiden

Ein häufiger Fehler ist, zusammengesetzte Faktoren als Primfaktoren stehen zu lassen. Wenn du zum Beispiel durch eine passende Zahl teilst, die selbst keine Primzahl ist, musst du danach weiter zerlegen. Am Ende dürfen nur Primzahlen im Produkt stehen.

Achte außerdem auf Wiederholungen. Bei 84 steht nicht nur 2 · 3 · 7, sondern 2² · 3 · 7, weil die 2 zweimal vorkommt. Dieser Unterschied verändert die Teileranzahl: Für 84 lautet sie (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12.

Bei der Primzahlprüfung solltest du nicht aus einer langen Rechnung schließen, dass etwas „wahrscheinlich“ prim ist. 97 ist eine Primzahl, weil 97 nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. In der Rechnung wurden die Primzahlen bis √97 ≈ 9 geprüft. Für sehr große Zahlen kann die Zerlegung länger dauern, besonders wenn kleine Teiler fehlen. Dann ist Geduld normal und kein Hinweis auf ein falsches Ergebnis.

Für ggT und kgV wird oft verwechselt, welche Exponenten zu nehmen sind. Merksatz: ggT ist der gemeinsame Teil mit kleinem Exponenten, kgV ist die vollständige Abdeckung mit großem Exponenten.