Bruchrechner

Was kann der Bruchrechner?

Der Bruchrechner hilft dir bei den typischen Aufgaben im Bruchrechnen: Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, kürzen, vergleichen und Dezimalzahlen in Brüche umwandeln. Du gibst die Brüche in der passenden Schreibweise ein, zum Beispiel 1/2, -3/4 oder bei gemischten Zahlen 1 1/2.

Nützlich ist der Rechner vor allem, wenn du nicht nur das Endergebnis brauchst. Er zeigt auch den Rechenweg: Hauptnenner, Erweiterung, Kürzung über den größten gemeinsamen Teiler und die Ausgabe als Dezimalzahl oder Prozentwert. So erkennst du, ob ein Ergebnis wie 3/4 auch als 0,75 oder 75 % gemeint ist.

Bei gemischten Zahlen ist die Schreibweise wichtig. 2 1/3 bedeutet eine ganze Zahl mit einem Bruchteil. Für die Rechnung wird daraus ein unechter Bruch, im Beispiel 7/3. Das Ergebnis kann danach wieder als gemischte Zahl ausgegeben werden, etwa 7/2 = 3 1/2.

Wie funktioniert Bruchrechnen mit Hauptnenner und Kürzen?

Beim Addieren und Subtrahieren bringst du beide Brüche zuerst auf einen gemeinsamen Nenner. Danach rechnest du nur mit den Zählern weiter. Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. Beim Dividieren drehst du den zweiten Bruch um und multiplizierst mit diesem Kehrwert. Zum Schluss kürzt du, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

Ein Beispiel für Subtraktion:

• Aufgabe: 3/4 - 1/8
• Hauptnenner: kgV(4, 8) = 8
• Erweitern: 3/4 = 6/8, 1/8 bleibt 1/8
• Zähler verrechnen: (6 - 1)/8 = 5/8
• Kürzen: ggT(5, 8) = 1, also bleibt das Ergebnis 5/8

Damit ist 3/4 - 1/8 = 5/8. Als Dezimalzahl entspricht das 0,625, als Prozentwert 62,5 %.

Bei gleichen Nennern ist es kürzer. Aus 7/12 + 5/12 wird direkt (7 + 5)/12 = 12/12, danach gekürzt zu 1. Genauso ergibt 1/3 + 2/3 ebenfalls 1. Wichtig ist: Der Nenner wird beim Addieren nicht mitaddiert, er bleibt nach dem Angleichen gleich.

Brüche multiplizieren und dividieren: wann brauchst du den Kehrwert?

Beim Multiplizieren brauchst du keinen Hauptnenner. Du multiplizierst die Zähler miteinander und die Nenner miteinander. Danach kürzt du das Ergebnis. Beispiel: 2/3 · 3/5 wird zunächst zu 6/15. Weil ggT(6, 15) = 3, kürzt du zu 2/5. Als Dezimalzahl ist das 0,4, als Prozentwert 40 %.

Beim Dividieren ist der Kehrwert entscheidend. 5/6 ÷ 2/3 rechnest du als 5/6 · 3/2. Daraus entsteht 15/12, gekürzt mit ggT(15, 12) = 3 zu 5/4. Als gemischte Zahl ist das 1 1/4, als Dezimalzahl 1,25.

Der Kehrwert zeigt auch, wie du ein Ergebnis umdrehst: Bei 5/4 ist der Kehrwert 4/5, bei 2/3 ist er 3/2. Achte nur darauf, den Kehrwert beim Dividieren vom zweiten Bruch zu nehmen, nicht vom ersten. Genau dieser Tausch ist eine häufige Fehlerquelle.

Dezimalzahl in Bruch und gemischte Zahl umwandeln

Eine Dezimalzahl wird zuerst als Bruch mit einem passenden Zehnernenner geschrieben und danach gekürzt. Bei 0,75 steht im Rechenweg: 0,75 = 75/100. Danach wird mit ggT(75, 100) = 25 gekürzt. Das Ergebnis ist 3/4.

Bei 2,5 funktioniert es ähnlich: 2,5 = 25/10, gekürzt mit ggT(25, 10) = 5. Daraus wird 5/2. Als gemischte Zahl ist das 2 1/2, als Prozentwert 250 %.

Periodische Dezimalzahlen werden anders gelesen als endliche Dezimalzahlen. 0,(3) = 0,3̅ entspricht 1/3, während 0,3 als 3/10 geschrieben wird. Auch 0,(6) = 0,6̅ ist nicht dasselbe wie 0,6: Die periodische Zahl ergibt 2/3, die endliche Zahl ergibt 3/5.

Gemischte Zahlen sind vor allem dann praktisch, wenn der Wert größer als ein Ganzes ist. 31/12 lässt sich als 2 7/12 schreiben. In vielen Schulaufgaben bleibt der unechte Bruch erwünscht, im Alltag ist die gemischte Schreibweise oft leichter zu lesen.

Brüche vergleichen, kürzen und typische Fehler vermeiden

Zum Vergleichen bringst du die Brüche ebenfalls auf einen gemeinsamen Nenner oder vergleichst die Dezimalwerte. Bei 3/4 und 2/3 ist der Hauptnenner 12: 3/4 = 9/12 und 2/3 = 8/12. Also gilt 3/4 > 2/3. Der Unterschied ist 1/12.

Ein weiteres Beispiel: 5/8 < 3/4, denn 3/4 = 6/8 und 5/8 bleibt 5/8. Der Unterschied ist 1/8. Die Dezimalzahlen bestätigen das: 0,625 < 0,75.

Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch denselben gemeinsamen Teiler. 12/18 wird mit ggT(12, 18) = 6 zu 2/3. 45/60 wird mit ggT(45, 60) = 15 zu 3/4. Der Wert des Bruchs ändert sich dabei nicht, nur die Schreibweise wird einfacher.

Typische Fehler:

• Beim Addieren Nenner mitaddieren. Das ist falsch, erst wird auf einen gemeinsamen Nenner erweitert.
• Beim Dividieren den falschen Bruch umdrehen. Der Kehrwert gehört zum zweiten Bruch.
• Ein negatives Vorzeichen übersehen, etwa bei 1/2 - 2/3 = -1/6.
• Eine periodische Dezimalzahl wie 0,6̅ mit 0,6 verwechseln.
• Einen Nenner 0 eingeben. Ein Bruch mit Nenner 0 ist keine gültige Bruchzahl.