Trigonometrie-Rechner

Was macht der Trigonometrie-Rechner?

Der Trigonometrie-Rechner hilft dir bei Sinus, Kosinus und Tangens, bei den Umkehrfunktionen arcsin, arccos und arctan sowie bei rechtwinkligen Dreiecken mit Winkel und Seitenlänge. Du kannst damit zum Beispiel einen Winkel aus einem Tangenswert bestimmen, eine fehlende Kathete berechnen oder Grad in Bogenmaß und Gon einordnen.

Wähle aus, ob du einen Winkelwert, einen Winkel aus einem Funktionswert oder ein rechtwinkliges Dreieck berechnen möchtest, und gib die bekannten Werte ein.

Für die Einordnung ist entscheidend, welche Größe du kennst. Bei einem Winkel fragst du nach sin, cos und tan. Bei einem bekannten Funktionswert fragst du umgekehrt nach dem passenden Winkel. Bei einem rechtwinkligen Dreieck brauchst du zusätzlich, ob die bekannte Seite die Hypotenuse, Gegenkathete oder Ankathete ist. Gerade diese Zuordnung ist in Aufgaben oft die eigentliche Fehlerquelle.

Wie funktionieren Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck?

Im rechtwinkligen Dreieck beschreiben Sinus, Kosinus und Tangens Seitenverhältnisse. Die Gegenkathete liegt dem Winkel α gegenüber, die Ankathete liegt am Winkel α an, die Hypotenuse ist die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel.

Die Rechnung in Worten:

• Sinus ist Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse.
• Kosinus ist Ankathete geteilt durch Hypotenuse.
• Tangens ist Gegenkathete geteilt durch Ankathete.
• Tangens kann auch als Sinus geteilt durch Kosinus berechnet werden.
• Kotangens ist der Kehrwert des Tangens.

Ein Beispiel mit 30°: Der Rechner liefert sin(30°) = 0,5 und cos(30°) = 0,866025. Den Tangens erhältst du dann über sin ÷ cos: 0,5 ÷ 0,866025 = 0,57735. Der Kotangens dazu ist 1,732051. Als exakte Werte gehören zu diesem Winkel sin = 1/2, cos = √3/2 und tan = √3/3.

Eine nützliche Kontrolle ist sin²(α) + cos²(α) = 1. Wenn du bei einer eigenen Rechnung stark davon abweichst, ist meistens eine Seite falsch zugeordnet, die falsche Winkeleinheit eingestellt oder ein Zwischenwert falsch übernommen.

Sinus-Rechner, Kosinus-Rechner und Tangens-Rechner: typische Referenzwerte

Für schnelle Plausibilitätsprüfungen helfen bekannte Winkel. Bei 45° sind Sinus und Kosinus gleich: sin(45°) = 0,707107 und cos(45°) = 0,707107. Deshalb ist tan(45°) = 1. Im rechtwinkligen Dreieck passt das zu gleich langen Katheten.

Bei 60° ist sin(60°) = 0,866025, cos(60°) = 0,5 und tan(60°) = 1,732051. Der Winkel entspricht 1,047198 rad (π/3) und 66,666667 gon. Wenn du den Winkel stattdessen im Bogenmaß eingibst, liefert 1,0472 rad dieselben Funktionswerte: sin = 0,866025, cos = 0,5 und tan = 1,732051.

Ein paar feste Werte solltest du kennen:

Winkel	sin	cos	tan
30°	0,5	0,866025	0,57735
45°	0,707107	0,707107	1
60°	0,866025	0,5	1,732051
90°	1	0	nicht definiert
180°	0	-1	0

Der Tangens ist bei 90° nicht definiert, weil der Kosinus dort 0 ist. Da tan(α) = sin(α) ÷ cos(α) gilt, würde an dieser Stelle durch 0 geteilt. Dasselbe Prinzip erklärt auch, warum der Tangens nahe an solchen Achsen besonders empfindlich auf kleine Winkeländerungen reagiert.

Wie berechnet man einen Winkel aus Sinus, Kosinus oder Tangens?

Wenn der Funktionswert bekannt ist, nutzt du die passende Umkehrfunktion. Aus einem Sinuswert wird der Winkel mit arcsin bestimmt, aus einem Kosinuswert mit arccos und aus einem Tangenswert mit arctan.

Beispiel Sinus: Aus sin(α) = 0,5 ergibt sich α = 30°. Zwischen 0° und 360° gibt es dazu 30° und 150°. Allgemein wiederholen sich diese Lösungen mit der Periode 360°.

Beispiel Kosinus: Aus cos(α) = 0,7071 ergibt sich α = 45,001°. Zwischen 0° und 360° gehören dazu 45,001° und 315°. Die leichte Abweichung von 45° kommt daher, dass der Eingabewert 0,7071 nur ein gekürzter Dezimalwert ist.

Beispiel Tangens: Aus tan(α) = 1 ergibt sich α = 45°. Zwischen 0° und 360° gibt es 45° und 225°. Die allgemeine Lösung wiederholt sich mit der Periode 180°.

Für Steigungen ist der Arkustangens besonders praktisch. Eine Steigung von 0,3 entspricht arctan(0,3) = 16,699°. Zwischen 0° und 360° ist die zweite Lösung 196,7°. In typischen Steigungsaufgaben suchst du aber meist den kleineren Winkel zur Waagerechten.

Trigonometrie-Rechner in der Praxis: Seiten, Steigung und typische Fehler

Bei Dreiecksaufgaben ist die Benennung der Seiten wichtiger als die Formel selbst. Beispiel: Eine Leiter ist 5 m lang und steht mit 70° zum Boden. Die Leiter ist die Hypotenuse c. Die Höhe an der Wand ist die Gegenkathete a, der Abstand zur Wand ist die Ankathete b. Daraus ergeben sich a = 4,698 m und b = 1,71 m. Der zweite spitze Winkel ist 20°, die Fläche beträgt 4,017 m² und der Umfang 11,409 m.

Ein anderes Beispiel: Bei Winkel 30° und Gegenkathete 5 cm ist die Hypotenuse c = 10 cm und die Ankathete b = 8,66 cm. Bei Winkel 45° und Hypotenuse 10 m sind Gegenkathete und Ankathete gleich groß: a = 7,071 m und b = 7,071 m.

Typische Fehler vermeidest du so:

• Prüfe die Winkeleinheit. 30° und 0,523599 rad beschreiben denselben Winkel, sind aber unterschiedliche Eingaben.
• Verwechsle Gegenkathete und Ankathete nicht. Entscheidend ist immer der betrachtete Winkel α.
• Nutze arcsin, arccos und arctan nur mit passenden Werten. Sinus und Kosinus liegen zwischen -1 und 1, Tangens kann jede Zahl annehmen.
• Achte bei mehreren Lösungen auf den Bereich der Aufgabe. Zwischen 0° und 360° kann derselbe Sinus-, Kosinus- oder Tangenswert zu mehreren Winkeln gehören.
• Bei 90° und 270° ist der Tangens nicht definiert. Wenn eine Aufgabe dort einen Tangenswert erwartet, ist wahrscheinlich die Fragestellung oder eine Eingabe falsch.