Parallelogramm-Rechner

Wie rechnet man den Flächeninhalt Parallelogramm aus?

Für den flächeninhalt parallelogramm brauchst du eine Seite als Grundseite und die dazugehörige senkrechte Höhe. Die Rechnung lautet in Worten: Grundseite mal zugehörige Höhe. Als Formel: A = a · hₐ. Du kannst genauso die andere Seite verwenden: A = b · h_b. Entscheidend ist, dass die Höhe immer im rechten Winkel auf der gewählten Grundseite steht.

Beispiel: Bei Grundseite a = 6 cm und Höhe hₐ = 4 cm ergibt sich A = a · hₐ = 6 · 4 = 24 cm². Wenn zusätzlich die Seite b = 5 cm bekannt ist, lässt sich auch der Umfang bestimmen: U = 2 · (a + b) = 2 · (6 + 5) = 22 cm.

Die schräge Form ändert an der Flächenformel nichts, solange Grundseite und Höhe zusammengehören. Im Beispiel ist hₐ = 4 cm, während die andere Höhe h_b = 4,8 cm beträgt. Beide Höhen passen zu unterschiedlichen Grundseiten. Nimmst du die falsche Höhe zur falschen Seite, wird die Fläche falsch.

Parallelogramm berechnen mit Seiten und Winkel

Wenn keine Höhe gegeben ist, aber die Seiten a und b sowie der Winkel α zwischen ihnen bekannt sind, wird die Höhe zuerst über den Sinus bestimmt. In Worten: Höhe auf a ist Seite b mal Sinus des eingeschlossenen Winkels. Als Formel steht das so: hₐ = b · sin(α). Danach nutzt du wieder A = a · hₐ. Direkt zusammengefasst: A = a · b · sin(α).

Beispiel mit a = 10 m, b = 6 m und α = 60°: Die Höhe auf a ist hₐ = 5,196 m. Daraus ergibt sich die Fläche A = 51,962 m². Der Umfang beträgt U = 32 m. Die Innenwinkel sind α = γ = 60° und β = δ = 120°.

Du siehst daran auch: Seitenlängen allein reichen für die Fläche eines Parallelogramms nicht aus. Bei a = 10 und b = 6 hängt die Fläche stark vom Winkel ab. Bei α = 30° beträgt sie 30,000, bei α = 60° sind es 51,962 und bei α = 90° sind es 60,000. Gleiche Seiten können also unterschiedliche Flächen haben, wenn der Winkel anders ist.

Parallelogramm Höhe berechnen aus Fläche und Grundseite

Suchst du die Höhe, stellst du die Flächenformel um. Aus A = a · hₐ wird in Worten: Höhe gleich Fläche geteilt durch Grundseite. Du brauchst dafür die Fläche A und die passende Grundseite a. Im Rechner wählst du aus, welche Werte gegeben sind, gibst die Zahlen mit Einheit ein und liest Fläche, Umfang, Höhe oder Winkel direkt ab.

Beispiel: Bei Fläche A = 48 cm² und Grundseite a = 12 cm ist die Höhe h = 4 cm. Bei Fläche A = 135 m² und Grundseite a = 15 m ist die Höhe h = 9 m.

Achte darauf, dass die Höhe kein schräger Rand ist. Sie ist der senkrechte Abstand zwischen den parallelen Seiten. Gerade bei Skizzen wird häufig die Seitenlänge b mit der Höhe verwechselt. Im Beispiel mit a = 8 cm, b = 5 cm und h = 3 cm ist die Fläche 24 cm². Die schräge Seite b = 5 cm gehört zum Umfang, nicht als Höhe in die Flächenrechnung.

Raute Fläche und Umfang mit Diagonalen berechnen

Eine Raute, auch Rhombus genannt, ist ein besonderes Parallelogramm. Alle Seiten sind gleich lang. Wenn die Diagonalen e und f gegeben sind, lässt sich die Fläche sehr direkt berechnen: A = e · f ÷ 2. In Worten: Diagonalen miteinander multiplizieren und das Ergebnis halbieren.

Beispiel: Bei e = 6 cm und f = 8 cm erhältst du A = e · f ÷ 2 = 6 · 8 ÷ 2 = 24 cm². Die Seitenlänge ist a = 5 cm, der Umfang U = 20 cm und die Höhe h = 4,8 cm. Die Innenwinkel sind α = γ = 106,26° und β = δ = 73,74°.

Ein weiteres Beispiel zeigt den Unterschied bei größeren Diagonalen: Bei e = 10 cm und f = 12 cm beträgt die Fläche 60 cm². Die Seitenlänge ist 7,81 cm, der Umfang 31,241 cm und die Höhe 7,682 cm. Die Diagonalen sind also ein bequemer Weg, wenn du eine Raute berechnen willst, ohne erst Höhe oder Winkel zu bestimmen.

Typische Fehler beim Flächeninhalt Parallelogramm

Die meisten Fehler entstehen nicht durch die Formel, sondern durch die Auswahl der Werte. Diese Punkte helfen dir beim Prüfen deiner Rechnung:

• Höhe und Seite nicht verwechseln: Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite. Eine schräge Seite wie b = 5 cm ist nicht automatisch die Höhe.
• Passende Höhe verwenden: Zu a gehört hₐ, zu b gehört h_b. Im Beispiel mit a = 6 cm, hₐ = 4 cm und b = 5 cm ist h_b = 4,8 cm.
• Winkel richtig zuordnen: Bei der Formel A = a · b · sin(α) muss α der Winkel zwischen a und b sein. Beim Beispiel a = 9 cm, b = 6 cm und α = 45° ergibt sich eine Fläche von 38,184 cm².
• Einheiten sauber halten: Längen in cm führen zu cm², Längen in m zu m². Bei a = 20 mm und h = 13 mm beträgt die Fläche 260 mm², umgerechnet 2,6 cm².
• Umfang und Fläche trennen: Der Umfang nutzt die Seitenlängen, zum Beispiel U = 2 · (a + b). Die Fläche nutzt Grundseite und Höhe oder Seiten und Winkel.

Wenn ein Ergebnis nicht zur Zeichnung passt, prüfe zuerst, ob die eingegebene Höhe wirklich senkrecht gemessen wurde. Danach lohnt sich ein Blick auf die Einheit.