Diagonale-Rechner

Wie kannst du eine Diagonale berechnen?

Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken einer Fläche oder eines Körpers. Beim Rechteck läuft sie von einer Ecke quer zur anderen. Beim Quader geht die Raumdiagonale durch den Körper, also von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke im Raum.

Für die meisten Alltagsfragen steckt der Satz des Pythagoras dahinter. Beim Rechteck bilden Länge, Breite und Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb kannst du die Diagonale berechnen, wenn du die beiden Seiten kennst. Beim Quader kommt zur Länge und Breite noch die Höhe dazu.

Im Rechner wählst du die passende Form aus, gibst die bekannten Maße ein und achtest darauf, dass alle Längen in derselben Einheit stehen.

Typische Fälle sind:

• Diagonale eines Rechtecks, etwa bei einem Zimmer, Brett oder Paketboden
• Diagonale eines Quadrats, etwa bei einer Fliese oder Platte
• Raumdiagonale eines Quaders oder Würfels, etwa bei Karton, Schrank oder Kiste
• Bildschirmdiagonale in Zentimeter sowie Breite und Höhe
• Anzahl der Diagonalen in einem Vieleck

So funktioniert die Rechnung bei Rechteck, Quadrat und Quader

Beim Rechteck lautet die Rechnung in Worten: Quadriere die Länge, quadriere die Breite, addiere beide Ergebnisse und ziehe daraus die Wurzel. Das Ergebnis ist die Diagonale.

Ein durchgerechnetes Beispiel: Ein Rechteck ist 4 cm lang und 3 cm breit. Dann wird gerechnet: d = √(a² + b²) = √(16 + 9) = √25 = 5 cm. Zusätzlich ergibt sich für dieses Rechteck eine Diagonale von 1,97 Zoll und ein Winkel zwischen Diagonale und Seite a von 36,87°.

Beim Quadrat ist es einfacher, weil beide Seiten gleich lang sind. Die Diagonale entspricht der Seitenlänge mal √2. Bei einer Seitenlänge von 5 cm ergibt das 7,071 cm. In Zoll sind das 2,78 Zoll.

Beim Quader wird aus der Flächendiagonale eine Raumdiagonale. In Worten: Quadriere Länge, Breite und Höhe, addiere die drei Werte und ziehe die Wurzel. Für einen Quader mit 10 cm, 6 cm und 4 cm beträgt die Raumdiagonale 12,329 cm. Die Flächendiagonalen liegen dabei auf den Seitenflächen: Boden a×b: 11,662 cm, Seite a×c: 10,77 cm, Seite b×c: 7,211 cm.

Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Für eine Kantenlänge von 3 cm beträgt die Raumdiagonale 5,196 cm. Die Flächendiagonale einer Würfelseite beträgt in diesem Beispiel 4,243 cm.

Bildschirmdiagonale berechnen: Zoll in cm, Breite und Höhe

Bei Bildschirmen meint die Zoll-Angabe die Diagonale der sichtbaren Fläche. Für die Umrechnung in Zentimeter und für Breite und Höhe brauchst du zusätzlich das Seitenverhältnis. Deshalb kann dieselbe Zoll-Zahl je nach Format andere Außenmaße der Bildfläche ergeben.

Ein 27 Zoll Bildschirm im Format 16:9 hat eine Diagonale von 68,58 cm. Daraus ergeben sich 59,77 cm Breite und 33,62 cm Höhe. Die Bildfläche beträgt 2.010 cm². In Zoll ausgedrückt sind Breite und Höhe 23,53 × 13,24 Zoll.

Bei gleicher Diagonale, aber anderem Seitenverhältnis, ändern sich Breite und Höhe deutlich. Ein 27 Zoll Bildschirm im Format 21:9 hat ebenfalls 68,58 cm Diagonale, ist aber 63,03 cm breit und 27,01 cm hoch. Die Bildfläche beträgt 1.703 cm². Das erklärt, warum ein Ultrawide-Monitor breiter wirken kann, obwohl die Zoll-Angabe gleich bleibt.

Ein 24 Zoll Bildschirm im Format 16:10 kommt auf 60,96 cm Diagonale, 51,69 cm Breite und 32,31 cm Höhe. Bei Laptops und Tablets ist das Seitenverhältnis besonders wichtig: Ein 15,6-Zoll-Laptop im Format 3:2 hat 39,62 cm Diagonale, 32,97 cm Breite und 21,98 cm Höhe.

Ein paar Vergleichswerte aus der Praxis:

Gerät oder Format	Diagonale	Breite	Höhe
Monitor 27 Zoll, 16:9	68,6 cm	59,8 cm	33,6 cm
Monitor 34” Ultrawide, 21:9	86,4 cm	79,4 cm	34,0 cm
Monitor 49” Super-Ultrawide, 32:9	124,5 cm	119,8 cm	33,7 cm
Tablet 11” , 4:3	27,9 cm	22,4 cm	16,8 cm

Raumdiagonale berechnen: passt etwas in Karton, Zimmer oder Kiste?

Die Raumdiagonale ist hilfreich, wenn du wissen willst, ob ein langer Gegenstand schräg in einen Quader passt. Die reine Länge, Breite oder Höhe reicht dafür oft nicht aus, weil der Gegenstand diagonal durch den Raum gelegt werden kann.

Ein typisches Beispiel ist ein Umzugskarton mit 60 × 40 × 40 cm. Die Bodendiagonale beträgt 72,111 cm. Die Raumdiagonale durch den Karton beträgt 82,462 cm. Eine starre Stange muss also mit der Raumdiagonale verglichen werden, nicht nur mit der längsten Kante des Kartons.

Auch bei Räumen hilft die Diagonale. Ein Zimmer mit 5 m × 4 m hat eine Diagonale von 6,403 m. Der Winkel zwischen Diagonale und Seite a beträgt 38,66°. Solche Werte sind praktisch, wenn du zum Beispiel Teppichbahnen, Kabelwege, Latten oder Messstrecken über Eck abschätzen willst.

Wichtig ist die Unterscheidung zwischen Flächendiagonale und Raumdiagonale. Die Flächendiagonale liegt auf einer einzelnen Seite, etwa auf dem Boden eines Kartons. Die Raumdiagonale läuft durch den Innenraum. Bei einem Quader mit 10 cm, 6 cm und 4 cm ist die Raumdiagonale 12,329 cm, während die Flächendiagonalen kleiner sind: 11,662 cm, 10,77 cm und 7,211 cm.

Anzahl der Diagonalen im n-Eck berechnen

Bei Vielecken geht es nicht um eine Länge, sondern um die Anzahl der möglichen Diagonalen. Eine Diagonale verbindet zwei Ecken, die nicht direkt benachbart sind. Seiten des Vielecks werden dabei nicht mitgezählt.

Die Formel lautet in Worten: Nimm die Anzahl der Ecken, multipliziere sie mit der Anzahl der nicht benachbarten Zielpunkte je Ecke und teile das Ergebnis durch 2. Das Teilen ist nötig, weil jede Diagonale sonst doppelt gezählt würde - einmal von jedem Ende aus.

Für ein 8-Eck ergibt sich: Anzahl = n · (n − 3) ÷ 2 = 8 · 5 ÷ 2 = 20. Ein 8-Eck hat also 20 Diagonalen. Pro Ecke sind es 5 mögliche Diagonalen, die Innenwinkelsumme beträgt 1.080 °.

Weitere Werte:

Ecken n	Diagonalen	Innenwinkelsumme
3	0	180 °
4	2	360 °
5	5	540 °
8	20	1.080 °
12	54	1.800 °
20	170	3.240 °
100	4.850	17.640 °

Ein häufiger Denkfehler: Von jeder Ecke aus werden die beiden Nachbarecken und die Ecke selbst nicht als Diagonalziel gezählt. Deshalb steht in der Formel n − 3.

Typische Fehler beim Diagonale berechnen

Der häufigste Fehler ist ein Einheitenmix. Wenn eine Seite in Zentimeter und eine andere in Meter eingegeben wird, passt das Ergebnis nicht. Rechne deshalb alle Längen vorher in dieselbe Einheit um oder wähle im Rechner konsequent eine Einheit.

Zweiter Fehler: Bei Bildschirmen wird die Zoll-Zahl oft mit der Breite verwechselt. Die Zoll-Angabe ist die Diagonale. Ein 55 Zoll Fernseher im Format 16:9 hat 139,70 cm Diagonale, aber 121,76 cm Breite und 68,49 cm Höhe. Für Möbelnischen, Wandhalterungen oder Schreibtische ist deshalb die Breite oft wichtiger als die Diagonale.

Dritter Fehler: Beim Karton wird nur die Grundfläche betrachtet. Wenn du wissen willst, ob ein Gegenstand schräg durch den ganzen Karton passt, brauchst du die Raumdiagonale. Die Bodendiagonale reicht nur, wenn der Gegenstand flach auf dem Boden liegen soll.

Vierter Fehler: Bei Vielecken werden Seiten als Diagonalen mitgezählt. Eine Verbindung zwischen benachbarten Ecken ist aber eine Seite, keine Diagonale. Darum hat ein 3-Eck 0 Diagonalen, ein 4-Eck 2 Diagonalen und ein 12-Eck 54 Diagonalen.

Achte außerdem auf Rundungen. In der Praxis können Materialstärke, Rahmen, Gehäuse, Verpackung, Toleranzen oder abgerundete Ecken dafür sorgen, dass ein rechnerisch passender Gegenstand trotzdem knapp wird.