Zahlensysteme umrechnen

Wie rechnet man binär in dezimal um?

Beim Umrechnen von binär in dezimal liest du die Binärzahl als Stellenwertsystem. Jede Stelle hat einen Wert, der von rechts nach links wächst: die rechte Stelle ist die Einerstelle, daneben kommt die nächste Potenz der Basis. Im Binärsystem ist die Basis 2, also besteht jede Stelle aus Ziffer mal 2 hoch Stelle.

Die Formel in Worten lautet: Wert ist die Summe aus jeder Ziffer mal Basis hoch Stelle, wobei die Einerstelle die Stelle 0 hat.

Ein Beispiel mit 101010₂:

• 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰
• = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0
• = 42₁₀

Damit ist 101010₂ dieselbe Zahl wie 42₁₀. Der Rechner zeigt sie zusätzlich in anderen Schreibweisen: binär als 0010 1010, hexadezimal als 2A und oktal als 52. Die Gruppierung in 4er-Gruppen ändert den Wert nicht, sie macht nur das Lesen einfacher.

Dezimal in binär mit der Restwertmethode

Wenn du von dezimal in binär umrechnest, gehst du andersherum vor. Du teilst die Dezimalzahl fortlaufend durch die Zielbasis und notierst jedes Mal den Rest. Am Ende liest du die Reste von unten nach oben.

Für 42₁₀ nach binär sieht das so aus:

• 42 : 2 = 21 Rest 0
• 21 : 2 = 10 Rest 1
• 10 : 2 = 5 Rest 0
• 5 : 2 = 2 Rest 1
• 2 : 2 = 1 Rest 0
• 1 : 2 = 0 Rest 1

Von unten nach oben gelesen ergibt das 101010₂. Du siehst daran auch, warum beim Rückweg wieder 42 herauskommt: Es ist dieselbe Zahl, nur in einer anderen Basis dargestellt.

Bei größeren Werten ist die Methode genauso. 255₁₀ wird zu 11111111₂. In 4er-Gruppen steht das als 1111 1111, in Hexadezimal als FF und in Oktal als 377. 256₁₀ dagegen wird zu 100000000₂, in 4er-Gruppen 0001 0000 0000, hexadezimal 100 und oktal 400. Dieser Sprung ist typisch: Nach lauter Einsen kommt eine Eins mit Nullen dahinter.

Hex in dezimal und zurück umrechnen

Hexadezimal nutzt die Basis 16. Die Ziffern nach 9 werden mit Buchstaben geschrieben: A, B, C, D, E und F. Beim Umrechnen von hex in dezimal nutzt du wieder Stellenwerte, nur eben mit der Basis 16.

Beispiel FF₁₆ nach dezimal:

• F steht für 15
• 15·16¹ + 15·16⁰
• = 240 + 15
• = 255₁₀

Darum ist FF₁₆ gleich 255₁₀. Umgekehrt zeigt die Restwertmethode dasselbe Ergebnis: 255 : 16 = 15 Rest 15 (= F), danach 15 : 16 = 0 Rest 15 (= F). Von unten nach oben gelesen entsteht FF.

Ein weiteres Beispiel ist 7B₁₆. Hier steht B für 11. Der Rechenweg lautet 7·16¹ + 11·16⁰ = 112 + 11 = 123₁₀. In Binärschreibweise ist dieselbe Zahl 0111 1011, oktal 173.

Besonders praktisch ist Hexadezimal, weil jede Hexziffer genau 4 Bit entspricht. Deshalb wird 1101₂ direkt zu D₁₆. Bei langen Bitmustern kannst du also von rechts in 4er-Blöcke gruppieren und jeden Block als Hexziffer lesen.

Zahlensysteme umrechnen in der Praxis: Bits, Bytes, Flags

Beim Programmieren, bei IP-Werten, Farbcodes oder Bitmasken geht es oft weniger um die Dezimalzahl selbst, sondern um das Muster der Bits. Der Konverter hilft dir, dieselbe Zahl gleichzeitig in Dezimal, Binär, Hexadezimal und Oktal zu sehen.

Ein paar Werte kommen besonders häufig vor:

Dezimal	Binär	Hex	Oktal
127	0111 1111	7F	177
128	1000 0000	80	200
255	1111 1111	FF	377
256	0001 0000 0000	100	400
1.024	0100 0000 0000	400	2000
65.535	1111 1111 1111 1111	FFFF	177777

Wenn du eine Bitmaske liest, ist jede Position ein Schalter. 10000000₂ entspricht 128₁₀ und wird hexadezimal als 80 geschrieben. 11111111₂ entspricht 255₁₀ und FF₁₆. In vielen technischen Darstellungen ist Hex kürzer und übersichtlicher als eine lange Binärfolge.

Führende Nullen sind dabei ein Sonderfall. Für den Zahlenwert sind sie egal: 101010₂ und 0010 1010 beschreiben denselben Wert. Für die Darstellung sind sie aber oft hilfreich, etwa wenn ein Wert als 8 Bit oder in 4er-Gruppen gelesen werden soll. Deshalb zeigt der Rechner zusätzlich die gruppierte Binärschreibweise und die benötigten Bits und Bytes.

Typische Fehler beim Zahlensysteme umrechnen

Gib die Zahl ein, wähle Ausgangs- und Zielbasis und nutze bei Bedarf Präfixe wie 0b oder 0x sowie Kommazahlen wie 0,1.

Häufige Fehler entstehen nicht durch die Rechnung, sondern durch die Schreibweise:

• Falsche Ziffer für die Basis: Im Binärsystem sind nur 0 und 1 erlaubt. Im Oktalsystem passt 8 nicht als Ziffer. Im Hexadezimalsystem sind A bis F gültig.
• Basis verwechselt: 100 kann dezimal 100 bedeuten, binär 4, oktal 64 oder hexadezimal 256. Ohne Basisangabe ist die Zahl nicht eindeutig.
• Führende Nullen falsch bewertet: 0001 0000 0000 ist als Binärwert dasselbe wie 100000000, aber die Gruppierung hilft beim Lesen.
• Hex-Buchstaben als Dezimalziffern gelesen: In 1A3F₁₆ steht A für 10 und F für 15. Als Dezimalwert ergibt die Zahl 6.719.
• Kommazahlen erwartet, die sauber abbrechen: 0,1₁₀ wird im Binärsystem periodisch. Der Rechner zeigt dafür 0,00̅0̅1̅1̅₂ und begrenzt die Darstellung über die gewählten Nachkommastellen.

Wenn du eine Fehlermeldung bekommst, prüfe zuerst die Basis und die verwendeten Zeichen. Danach kontrollierst du, ob du ein Dezimalkomma oder ein Präfix passend zur Eingabe verwendet hast.